ITA 2024 — 2ª Fase — Questão 04 — Álgebra Linear
Dada uma matriz \(A \in M_n(\mathbb{R})\) simétrica, dizemos que \(A\) é definida positiva se
\[
X^T A X = [y], \quad y > 0,
\]
para toda \(X \in M_{n,1}(\mathbb{R})\) que tenha pelo menos uma entrada não-nula.
Encontre todos os possíveis valores de \(b \in \mathbb{R}\) tais que a matriz \[ A = \begin{bmatrix} 1 & b \\ b & 1 \end{bmatrix} \] seja definida positiva.
Encontre todos os possíveis valores de \(b \in \mathbb{R}\) tais que a matriz \[ A = \begin{bmatrix} 1 & b \\ b & 1 \end{bmatrix} \] seja definida positiva.
👀 Solução passo a passo
1) Forma geral de \(X\):
Seja \(X = \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix}\), com \(p \neq 0\) ou \(q \neq 0\). Então: \[ X^T A X = [p \ q] \cdot \begin{bmatrix} 1 & b \\ b & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} = [p \ q] \cdot \begin{bmatrix} p + bq \\ bp + q \end{bmatrix} = p(p+bq) + q(bp+q). \] Logo: \[ y = p^2 + 2bpq + q^2. \] Para \(A\) ser definida positiva, precisamos que \(y > 0\) para todos \((p,q) \neq (0,0)\). 2) Analisando a condição:
Considerando \(p \neq 0\) e definindo \(t = \frac{q}{p}\), temos: \[ y(t) = 1 + 2b t + t^2. \] Para que \(y(t) > 0\) para todo \(t \in \mathbb{R}\), o discriminante deve ser negativo: \[ \Delta = (2b)^2 – 4\cdot 1 \cdot 1 = 4b^2 – 4 < 0 \quad \Longrightarrow \quad b^2 < 1. \]
Seja \(X = \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix}\), com \(p \neq 0\) ou \(q \neq 0\). Então: \[ X^T A X = [p \ q] \cdot \begin{bmatrix} 1 & b \\ b & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} = [p \ q] \cdot \begin{bmatrix} p + bq \\ bp + q \end{bmatrix} = p(p+bq) + q(bp+q). \] Logo: \[ y = p^2 + 2bpq + q^2. \] Para \(A\) ser definida positiva, precisamos que \(y > 0\) para todos \((p,q) \neq (0,0)\). 2) Analisando a condição:
Considerando \(p \neq 0\) e definindo \(t = \frac{q}{p}\), temos: \[ y(t) = 1 + 2b t + t^2. \] Para que \(y(t) > 0\) para todo \(t \in \mathbb{R}\), o discriminante deve ser negativo: \[ \Delta = (2b)^2 – 4\cdot 1 \cdot 1 = 4b^2 – 4 < 0 \quad \Longrightarrow \quad b^2 < 1. \]
Portanto, \(-1 < b < 1\).
