A substituição direta é um dos métodos mais rápidos e simples para calcular limites. Em muitos casos, basta substituir o valor para o qual \(x\) está tendendo diretamente na função.
Esse método funciona principalmente quando a função está definida naquele ponto e não ocorre nenhuma indeterminação matemática.
O que é substituição direta?
Se a função \(f(x)\) está definida em \(a\), então:
\[ \lim_{x \to a}f(x)=f(a) \]
Ou seja, basta substituir o valor de \(x\) diretamente na função.
Quando a substituição direta funciona?
A substituição direta funciona quando:
- A função está definida no ponto.
- Não aparece divisão por zero.
- Não surge uma indeterminação como: \[ \frac{0}{0} \] ou \[ \frac{\infty}{\infty} \]
Passo a passo da substituição direta
1. Verifique se a função está definida.
2. Substitua o valor de \(x\).
3. Resolva as operações.
4. O resultado encontrado será o limite.
Exemplo 1
Calcule:
\[ \lim_{x \to 2}(3x^2-4x+1) \]
Substituindo \(x=2\):
\[ 3(2)^2-4(2)+1 \]
\[ =12-8+1 \]
\[ =5 \]
Logo:
\[ \boxed{5} \]
Exemplo 2
Calcule:
\[ \lim_{x \to -3}(x^3+2x-5) \]
Substituindo:
\[ (-3)^3+2(-3)-5 \]
\[ =-27-6-5 \]
\[ =-38 \]
Resposta:
\[ \boxed{-38} \]
Quando a substituição direta não funciona?
Se ao substituir o valor aparecer:
\[ \frac{0}{0} \]
ou outra indeterminação, será necessário usar outros métodos, como:
- Fatoração
- Racionalização
- Multiplicação pelo conjugado
- Colocar em evidência
Exercícios Resolvidos
Calcule:
\[ \lim_{x \to 1}(2x+5) \]
Substituindo:
\[ 2(1)+5 \]
\[ =7 \]
Resposta:
\[ \boxed{7} \]
Calcule:
\[ \lim_{x \to 4}(x^2-3x+2) \]
Substituindo:
\[ 4^2-3(4)+2 \]
\[ 16-12+2 \]
\[ =6 \]
Resposta:
\[ \boxed{6} \]
Calcule:
\[ \lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2} \]
Substituindo:
\[ \frac{2^2-4}{2-2} \]
\[ =\frac{0}{0} \]
Como apareceu uma indeterminação, a substituição direta não resolve o problema.
