Logaritmo — Definição, Propriedades e Exemplos Resolvidos
O logaritmo é uma ferramenta matemática usada para simplificar cálculos que envolvem potências e exponenciação. É amplamente cobrado no ENEM, vestibulares e concursos.
📘 Definição de Logaritmo
O logaritmo de um número \(x\) na base \(b\) é o expoente \(a\) tal que:
$$ \log_b x = a \iff b^a = x $$
onde \(b>0\), \(b\neq1\) e \(x>0\).
📚 Principais Propriedades dos Logaritmos
- Mesma base e argumento: \( \log_b b = 1 \)
- Argumento igual a 1: \( \log_b 1 = 0 \)
- Produto: \( \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y \)
- Divisão: \( \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x – \log_b y \)
- Potência no argumento: \( \log_b(a^n) = n\log_b a \)
- Raiz no argumento: \( \log_b(\sqrt[n]{a}) = \frac{1}{n}\log_b a \)
- Mudança de base: \( \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} \)
- Troca de base pelo argumento: \( \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \)
Tenha todas as fórmulas de logaritmos, potências e funções reunidas em um só material.
🧮 Exemplo 1 — Aplicando a Definição
Encontre o valor de \(x\) tal que \( \log_3 x = 4 \).
👀 Ver solução passo a passo
Pela definição de logaritmo:
\( \log_3 x = 4 \Rightarrow 3^4 = x \)
\( x = 81 \)
🧮 Exemplo 2 — Utilizando as Propriedades
Calcule \( \log_2 8 + \log_2 4 \).
👀 Ver solução passo a passo
\( \log_2 8 + \log_2 4 = \log_2(8\cdot4) \)
\( = \log_2 32 \)
\( 2^5 = 32 \Rightarrow \log_2 32 = 5 \)
📝 Exercícios de Logaritmos
Resolva as questões abaixo e depois abra para ver a solução.
👀 Ver solução
Pela definição: \(5^2 = 25\). Logo, \( \log_5 25 = 2 \). Alternativa B.
👀 Ver solução passo a passo
\( \log_2 16 – \log_2 4 = \log_2 \left(\frac{16}{4}\right) = \log_2 4 \)
\(2^2 = 4 \Rightarrow \log_2 4 = 2\)
👀 Ver solução
\(3^4 = 81\Rightarrow \log_3 81 = 4\).
👀 Ver solução
\( \log_4 9 = \log_{2^2} 3^2 = \frac{2\log_2 3}{2} = a \)
Alternativa B (pois \(2a\)).
👀 Ver solução passo a passo
\( \log_2 5 + \log_2 20 = \log_2 (5\cdot20) = \log_2 100 \)
\(100 = 2^x \Rightarrow x = \log_2 100 = \frac{\log 100}{\log 2} \approx 6,64.\)
👀 Ver solução
\( \log_3 9 – \log_3 27 = \log_3 \left(\frac{9}{27}\right) = \log_3 \frac{1}{3} = -1.\) Alternativa A.
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