ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 41 — Logaritmos
Sejam \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\in\mathbb{R}\) tais que
\(2^{x_1}=4\), \(3^{x_2}=5\), \(4^{x_3}=6\), \(5^{x_4}=7\), \(6^{x_5}=8\) e \(7^{x_6}=9\).
Então, o produto \(x_1x_2x_3x_4x_5x_6\) é igual a:
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
👀 Solução passo a passo
Pelas igualdades, escreva cada \(x_k\) como logaritmo na base do expoente:
\[
x_1=\log_2 4,\quad x_2=\log_3 5,\quad x_3=\log_4 6,\quad
x_4=\log_5 7,\quad x_5=\log_6 8,\quad x_6=\log_7 9.
\]
O produto pedido é
\[
P=(\log_2 4)(\log_4 6)(\log_6 8)\cdot(\log_3 5)(\log_5 7)(\log_7 9).
\]
Usando \(\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c\),
\[
(\log_2 4)(\log_4 6)(\log_6 8)=\log_2 8=3,\qquad
(\log_3 5)(\log_5 7)(\log_7 9)=\log_3 9=2.
\]
Logo, \(P=3\cdot 2=6\).
Resposta: A) 6.
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — 2ª Fase — Questão 10
