ITA 2021 — 1ª Fase — Questão 52 — Probabilidade em Sólidos de Platão
Um dodecaedro regular tem 12 faces que são pentágonos regulares. Escolhendo-se 2 vértices distintos desse dodecaedro, a probabilidade de eles pertencerem a uma mesma aresta é igual a:
a) \(\dfrac{15}{100}\)
b) \(\dfrac{3}{19}\)
c) \(\dfrac{15}{190}\)
d) \(\dfrac{5}{12}\)
e) \(\dfrac{2}{5}\)
👀 Solução passo a passo
Cada face é um pentágono; somando as arestas das 12 faces e dividindo por 2 (cada aresta é contada em duas faces),
obtemos o número de arestas do dodecaedro:
\[
E=\frac{12\cdot 5}{2}=30.
\]
Pelo Teorema de Euler \(V-E+F=2\) com \(F=12\),
\[
V-E+12=2\ \Rightarrow\ V=E-12+2=30-12+2=20.
\]
Escolhendo dois vértices distintos ao acaso, o número de pares possíveis é
\[
\binom{V}{2}=\binom{20}{2}=190.
\]
Um par de vértices pertence a uma mesma aresta se e somente se é a extremidade de uma das \(E=30\) arestas.
Logo,
\[
\mathbb{P}=\frac{\text{pares favoráveis}}{\text{pares possíveis}}=\frac{30}{190}=\frac{3}{19}.
\]
Resposta: b) \(\displaystyle \frac{3}{19}\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — Questão 51 — 1ª Fase
