ITA 2022 — 1ª Fase — Questão 41 — Logaritmos
Se
\[
x \;=\; 9\log_{120}2 \;+\; 3\log_{120}3 \;+\; 2\log_{14400}125,
\]
podemos afirmar que:
a) \(x=2\).
b) \(x=3\).
c) \(x=4\).
d) \(x=5\).
e) \(x=6\).
b) \(x=3\).
c) \(x=4\).
d) \(x=5\).
e) \(x=6\).
👀 Solução passo a passo
1) Simplifique o termo com base \(14400\):
Use mudança de base com base \(120\): \[ \log_{14400}125=\frac{\log_{120}125}{\log_{120}14400}. \] Como \(14400=120^2\Rightarrow \log_{120}14400=2\), então \[ 2\log_{14400}125 =2\cdot\frac{\log_{120}125}{2} =\log_{120}125. \] 2) Reescreva \(x\) em base \(120\) e aplique propriedades:
\[ x=9\log_{120}2+3\log_{120}3+\log_{120}125 =\log_{120}(2^{9})+\log_{120}(3^{3})+\log_{120}(5^{3}). \] Logo, \[ x=\log_{120}\!\big(2^{9}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3}\big). \] 3) Observe o produto dentro do logaritmo:
\[ 120=2^{3}\cdot 3 \cdot 5 \;\;\Rightarrow\;\; 120^{3}=2^{9}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3}. \] Portanto, \[ x=\log_{120}(120^{3})=3. \]
Use mudança de base com base \(120\): \[ \log_{14400}125=\frac{\log_{120}125}{\log_{120}14400}. \] Como \(14400=120^2\Rightarrow \log_{120}14400=2\), então \[ 2\log_{14400}125 =2\cdot\frac{\log_{120}125}{2} =\log_{120}125. \] 2) Reescreva \(x\) em base \(120\) e aplique propriedades:
\[ x=9\log_{120}2+3\log_{120}3+\log_{120}125 =\log_{120}(2^{9})+\log_{120}(3^{3})+\log_{120}(5^{3}). \] Logo, \[ x=\log_{120}\!\big(2^{9}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3}\big). \] 3) Observe o produto dentro do logaritmo:
\[ 120=2^{3}\cdot 3 \cdot 5 \;\;\Rightarrow\;\; 120^{3}=2^{9}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3}. \] Portanto, \[ x=\log_{120}(120^{3})=3. \]
Resposta: letra B — \(x=3\).
