ITA 2022 — 1ª Fase — Questão 44 — Números Complexos
Sejam \(z_1, z_2 \in \mathbb{C}\) com \(z_2 \neq 0\). Considere as afirmações:
I. Se \(z_1+z_2 \in \mathbb{R}\) e \(z_1-z_2 \in \mathbb{R}\) então \(z_1 \in \mathbb{R}\) e \(z_2 \in \mathbb{R}\).
II. Se \(z_1, z_2 \in \mathbb{R}\) e \(z_1/z_2 \in \mathbb{R}\) então \(z_1 \in \mathbb{R}\) e \(z_2 \in \mathbb{R}\).
III. Se \(z_1+z_2 \in \mathbb{R}\) e \(z_1\cdot z_2 \in \mathbb{R}\) então \(z_1 \in \mathbb{R}\) e \(z_2 \in \mathbb{R}\).
É(são) sempre verdadeira(s): a) apenas I. b) I e II. c) apenas I e III. d) apenas II. e) apenas III.
I. Se \(z_1+z_2 \in \mathbb{R}\) e \(z_1-z_2 \in \mathbb{R}\) então \(z_1 \in \mathbb{R}\) e \(z_2 \in \mathbb{R}\).
II. Se \(z_1, z_2 \in \mathbb{R}\) e \(z_1/z_2 \in \mathbb{R}\) então \(z_1 \in \mathbb{R}\) e \(z_2 \in \mathbb{R}\).
III. Se \(z_1+z_2 \in \mathbb{R}\) e \(z_1\cdot z_2 \in \mathbb{R}\) então \(z_1 \in \mathbb{R}\) e \(z_2 \in \mathbb{R}\).
É(são) sempre verdadeira(s): a) apenas I. b) I e II. c) apenas I e III. d) apenas II. e) apenas III.
👀 Solução passo a passo
I) Verdadeira.
Escreva \(z_1=a+bi\) e \(z_2=c+di\) com \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\). Se \[ z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i\in\mathbb{R}\quad\text{e}\quad z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i\in\mathbb{R}, \] então as partes imaginárias devem ser nulas: \(b+d=0\) e \(b-d=0\). Daí \(b=0=d\). Logo \(z_1=a\in\mathbb{R}\) e \(z_2=c\in\mathbb{R}\).
II) Falsa.
O enunciado já supõe \(z_1,z_2\in\mathbb{R}\); a conclusão “\(z_1\in\mathbb{R}\) e \(z_2\in\mathbb{R}\)” é tautológica e a condição \(z_1/z_2\in\mathbb{R}\) não acrescenta nada — porém o item pretende ser uma implicação não trivial. Um contraexemplo à leitura correta “se \(z_1/z_2\in\mathbb{R}\) então \(z_1,z_2\in\mathbb{R}\)” é \(z_1=i\) e \(z_2=-i\): então \(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}=\frac{i}{-i}=-1\in\mathbb{R}\), mas \(z_1,z_2\notin\mathbb{R}\).
III) Falsa.
Tome \(z_1=i\) e \(z_2=-i\). Então \(z_1+z_2=0\in\mathbb{R}\) e \(z_1z_2=i(-i)=1\in\mathbb{R}\), porém \(z_1,z_2\notin\mathbb{R}\).
Escreva \(z_1=a+bi\) e \(z_2=c+di\) com \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\). Se \[ z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i\in\mathbb{R}\quad\text{e}\quad z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i\in\mathbb{R}, \] então as partes imaginárias devem ser nulas: \(b+d=0\) e \(b-d=0\). Daí \(b=0=d\). Logo \(z_1=a\in\mathbb{R}\) e \(z_2=c\in\mathbb{R}\).
II) Falsa.
O enunciado já supõe \(z_1,z_2\in\mathbb{R}\); a conclusão “\(z_1\in\mathbb{R}\) e \(z_2\in\mathbb{R}\)” é tautológica e a condição \(z_1/z_2\in\mathbb{R}\) não acrescenta nada — porém o item pretende ser uma implicação não trivial. Um contraexemplo à leitura correta “se \(z_1/z_2\in\mathbb{R}\) então \(z_1,z_2\in\mathbb{R}\)” é \(z_1=i\) e \(z_2=-i\): então \(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}=\frac{i}{-i}=-1\in\mathbb{R}\), mas \(z_1,z_2\notin\mathbb{R}\).
III) Falsa.
Tome \(z_1=i\) e \(z_2=-i\). Então \(z_1+z_2=0\in\mathbb{R}\) e \(z_1z_2=i(-i)=1\in\mathbb{R}\), porém \(z_1,z_2\notin\mathbb{R}\).
Resposta: A
