MDC — Máximo Divisor Comum (Guia Completo)
Definição, propriedades, métodos de cálculo (Euclides, fatores primos, tabela prática e diferenças sucessivas), exemplos resolvidos e exercícios com soluções.
O que é o MDC
O Máximo Divisor Comum (MDC) é um conceito basilar da teoria dos Conjuntos Numéricos: ele representa o maior inteiro positivo que divide simultaneamente dois ou mais valores sem deixar resto.
Em problemas elementares, trabalhamos sobretudo no conjunto dos Números Naturais. Por exemplo, \( \mathrm{MDC}(12,18)=6 \) porque os divisores comuns de 12 e 18 são \(\{1,2,3,6\}\) e o maior é 6.
Propriedades fundamentais
- Simetria: \( \mathrm{MDC}(a,b)=\mathrm{MDC}(b,a) \).
- Associatividade: \( \mathrm{MDC}(a,b,c)=\mathrm{MDC}(\mathrm{MDC}(a,b),c) \).
- Combinação linear: \( \mathrm{MDC}(a,b)=\mathrm{MDC}(a,b\pm ka) \).
- Fator comum: \( \mathrm{MDC}(ka,kb)=k\cdot \mathrm{MDC}(a,b) \), para \(k>0\).
- Relação com MMC: para \(a,b>0\), \( \boxed{\mathrm{MDC}(a,b)\cdot \mathrm{MMC}(a,b)=a\cdot b} \).
Métodos de cálculo
1) Decomposição em fatores primos
- Fatigue cada número em fatores primos.
- Selecione apenas os fatores comuns com os menores expoentes.
- Multiplique-os para obter o MDC.
Exemplo: \(60=2^2\cdot3\cdot5\) e \(48=2^4\cdot3\) ⇒ comuns \(2^2\cdot3=12\) ⇒ \( \boxed{ \mathrm{MDC}(60,48)=12 }\).
2) Algoritmo de Euclides (divisões sucessivas)
Divida o maior pelo menor e substitua o maior pelo resto; repita até o resto ser zero. O último divisor não nulo é o MDC.
Exemplo: \( \mathrm{MDC}(252,198) \) → restos \(54,36,18,0\) ⇒ \( \boxed{18} \).
3) Método prático: Tabela do MDC (divisão simultânea)
Divida os números simultaneamente por primos comuns. O produto dos divisores aplicados a ambos é o MDC.
Exemplo: \( \mathrm{MDC}(84,126) \)
| Divisor | 84 | 126 |
|---|---|---|
| 2 | 42 | 63 |
| 3 | 14 | 21 |
| 7 | 2 | 3 |
Produto dos divisores comuns: \(2\cdot 3\cdot 7= \boxed{42}\).
4) Método das diferenças sucessivas
Subtraia o menor do maior até os números coincidirem; o valor final é o MDC (forma por subtrações do método de Euclides).
Exemplo: \( \mathrm{MDC}(98,56) \): \(98-56=42\), \(56-42=14\) ⇒ \( \boxed{14} \).
Aplicações do MDC
- Simplificação de frações em Números Naturais: \( \frac{60}{48}=\frac{60/12}{48/12}=\frac{5}{4} \).
- Divisão em partes iguais: agrupar itens em lotes sem sobras.
- Medidas: cortes de cabos/barras no maior tamanho comum possível.
- Inteiros: ao lidar com sinais, consulte a base de Números Inteiros.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Fatores primos
Calcule \( \mathrm{MDC}(84,126) \).
Fatorações: \(84=2^2\cdot 3\cdot 7\), \(126=2\cdot 3^2\cdot 7\). Comuns: \(2^1\cdot 3^1\cdot 7^1=\boxed{42}\).
Exemplo 2 — Euclides
Calcule \( \mathrm{MDC}(105,60) \).
Restos: \(105\div 60\Rightarrow 45\), \(60\div 45\Rightarrow 15\), \(45\div 15\Rightarrow 0\) ⇒ \(\boxed{15}\).
Exemplo 3 — Três números
Calcule \( \mathrm{MDC}(48,64,80) \).
\( \mathrm{MDC}(48,64)=16 \) e \( \mathrm{MDC}(16,80)=\boxed{16} \) ⇒ \( \mathrm{MDC}(48,64,80)=16 \).
Exercícios propostos (com soluções em “abre/fecha”)
Ex. 1 Calcule \( \mathrm{MDC}(60, 48) \).
👀 Ver solução passo a passo
Fatores: \(60=2^2\cdot 3\cdot 5\), \(48=2^4\cdot 3\). Comuns: \(2^2\cdot 3=12\). Resposta: \( \boxed{12} \).
Ex. 2 Calcule \( \mathrm{MDC}(252, 198) \).
👀 Ver solução passo a passo
Euclides: restos \(54,36,18,0\). Resposta: \( \boxed{18} \).
Ex. 3 Calcule \( \mathrm{MDC}(84, 126) \) usando a Tabela do MDC.
👀 Ver solução passo a passo
| Divisor | 84 | 126 |
|---|---|---|
| 2 | 42 | 63 |
| 3 | 14 | 21 |
| 7 | 2 | 3 |
Produto: \(2\cdot 3\cdot 7=\boxed{42}\).
Ex. 4 Encontre \( \mathrm{MDC}(48, 64, 80) \).
👀 Ver solução passo a passo
\( \mathrm{MDC}(48,64)=16 \) e \( \mathrm{MDC}(16,80)=16 \). Resposta: \( \boxed{16} \).
Continue estudando: fortaleça a base em Conjuntos Numéricos, aprofunde as propriedades nos Números Naturais e revise sinais, opostos e valor absoluto em Números Inteiros.
Perguntas frequentes
O que é o MDC?
Qual método é mais rápido na prática?
Como o MDC se relaciona ao MMC?
Lista de Exercícios — MDC
Resolva os exercícios a seguir. Quando quiser conferir, abra o “👀 Ver solução”.
1) Calcule \( \mathrm{MDC}(84,126) \).
👀 Ver solução
\(84=2^2\cdot3\cdot7\), \(126=2\cdot3^2\cdot7\) ⇒ comuns: \(2^1\cdot3^1\cdot7=42\).
Resposta: \(\boxed{42}\).
2) Calcule \( \mathrm{MDC}(252,198) \) pelo Algoritmo de Euclides.
👀 Ver solução
Restos: \(252\div198\Rightarrow54\), \(198\div54\Rightarrow36\), \(54\div36\Rightarrow18\), \(36\div18\Rightarrow0\).
Resposta: \(\boxed{18}\).
3) Encontre \( \mathrm{MDC}(360,840) \).
👀 Ver solução
\(360=2^3\cdot3^2\cdot5\), \(840=2^3\cdot3\cdot5\cdot7\) ⇒ comuns: \(2^3\cdot3\cdot5=120\).
Resposta: \(\boxed{120}\).
4) Calcule \( \mathrm{MDC}(121,22) \).
👀 Ver solução
\(121=11^2\), \(22=2\cdot11\) ⇒ \(\mathrm{MDC}=11\).
Resposta: \(\boxed{11}\).
5) Calcule \( \mathrm{MDC}(96,128,160) \).
👀 Ver solução
Potência de 2 mínima: \(\min(5,7,5)=5\) ⇒ \(2^5=32\).
Resposta: \(\boxed{32}\).
6) Encontre \( \mathrm{MDC}(231,105) \) usando diferenças sucessivas.
👀 Ver solução
\(231-105=126\), \(126-105=21\), \(105-84=21\)… ⇒ \(\mathrm{MDC}=21\).
Resposta: \(\boxed{21}\).
7) Simplifique a fração \( \dfrac{168}{210} \) usando o MDC.
👀 Ver solução
\(\mathrm{MDC}(168,210)=42\). \(\dfrac{168}{210}=\dfrac{4}{5}\).
Resposta: \(\boxed{\tfrac{4}{5}}\).
8) Barras de 150 cm e 210 cm serão cortadas em pedaços de mesmo tamanho, sem sobras. Qual o maior comprimento possível?
👀 Ver solução
\(\mathrm{MDC}(150,210)=30\).
Resposta: \(\boxed{30\text{ cm}}\).
9) Montar o maior número de kits iguais com 72 laranjas e 60 maçãs, sem sobras. Quantos kits e como fica cada kit?
👀 Ver solução
Número de kits \(=\mathrm{MDC}(72,60)=12\). Cada kit: \(72/12=6\) laranjas e \(60/12=5\) maçãs.
Resposta: \(\boxed{12\text{ kits: }(6,5)}\).
10) Um retângulo de \(96\times120\) cm será ladrilhado por quadrados iguais do maior lado possível. Qual o lado do quadrado e quantos quadrados serão usados?
👀 Ver solução
Lado \(=\mathrm{MDC}(96,120)=24\) cm. Quantidade \(=(96/24)\cdot(120/24)=4\cdot5=20\).
Resposta: \(\boxed{24\text{ cm e }20\text{ quadrados}}\).
11) 45 e 75 chocolates devem ser divididos igualmente entre o máximo de crianças, sem sobras. Quantas crianças e quanto cada uma recebe?
👀 Ver solução
\(\mathrm{MDC}(45,75)=15\) crianças. Cada uma: \(45/15=3\) e \(75/15=5\).
Resposta: \(\boxed{15\text{ crianças: }(3,5)}\).
12) (Desafio) Determine todos os \(k\in[1,120]\) tais que \(\mathrm{MDC}(36,k)=12\).
👀 Ver solução
Como \(36=2^2\cdot3^2\) e \(12=2^2\cdot3\): precisamos \(v_2(k)\ge2\) e \(v_3(k)=1\). Logo \(k=2^a\cdot3\cdot m\), com \(a\ge2\) e \(\gcd(m,6)=1\), dentro de \(k\le120\).
Possibilidades: \(\{12,24,48,60,84,96,120\}\).
Resposta: \(\boxed{\{12,24,48,60,84,96,120\}}\).
13) Use reduções: mostre que \(\mathrm{MDC}(714,378)=\mathrm{MDC}(336,378)\) e calcule o valor.
👀 Ver solução
\(\mathrm{MDC}(a,b)=\mathrm{MDC}(a-b,b)\). \(714-378=336\). Agora \(\mathrm{MDC}(336,378)\) pelo Euclides → restos \(42,0\).
Resposta: \(\boxed{42}\).
14) Calcule \( \mathrm{MDC}(420,588,980) \).
👀 Ver solução
Fatores: \(420=2^2\cdot3\cdot5\cdot7\), \(588=2^2\cdot3\cdot7^2\), \(980=2^2\cdot5\cdot7^2\). Comuns: \(2^2\cdot7=28\).
Resposta: \(\boxed{28}\).
15) Calcule \( \mathrm{MDC}(1001,286) \).
👀 Ver solução
\(1001=7\cdot11\cdot13\), \(286=2\cdot11\cdot13\) ⇒ comuns \(11\cdot13=143\).
Resposta: \(\boxed{143}\).
16) Quantos \(x\in[1,100]\) satisfazem \(\mathrm{MDC}(45,x)=15\)? Liste-os.
👀 Ver solução
\(45=3^2\cdot5\). Para \(\mathrm{MDC}=15=3\cdot5\): precisamos \(v_3(x)=1\) (não 0 nem ≥2) e \(v_5(x)\ge1\). Em \(1..100\), múltiplos de 15 não múltiplos de 45: \(\{15,30,60,75\}\).
Resposta: \(\boxed{4\text{ valores: }15,30,60,75}\).
17) Calcule \( \mathrm{MDC}(270, 630) \) e use-o para simplificar \( \dfrac{270}{630} \).
👀 Ver solução
\(\mathrm{MDC}(270,630)=90\). Fração: \(270/630=(3)/(7)\).
Resposta: \(\boxed{\mathrm{MDC}=90\ \text{e}\ \tfrac{3}{7}}\).
18) Determine \( \mathrm{MDC}(784, 1008) \).
👀 Ver solução
Pelo Euclides: \(1008-784=224\); \(\mathrm{MDC}(784,224)\) → \(784=3\cdot224+112\); \(224=2\cdot112+0\).
Resposta: \(\boxed{112}\).
19) A dimensão de um terreno é \(196\text{ m}\times140\text{ m}\). Quer-se dividir em quadrados idênticos do maior lado possível. Qual o lado e quantos quadrados?
👀 Ver solução
Lado \(=\mathrm{MDC}(196,140)=14\) m. Quantidade \(=(196/14)\cdot(140/14)=14\cdot10=140\).
Resposta: \(\boxed{14\text{ m e }140\text{ quadrados}}\).
20) Calcule \( \mathrm{MDC}(101,303) \).
👀 Ver solução
\(303=3\cdot101\).
Resposta: \(\boxed{101}\).
