Números Primos — Definição, Propriedades, Crivo e Exercícios
O que são Números Primos?
Um número primo é um inteiro maior que 1 que possui exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Exemplos: \(2,3,5,7,11,13,\dots\)
Os demais inteiros \(>1\) são compostos (possuem mais de dois divisores). O número 1 é neutro para a multiplicação, mas não é primo.
Contexto nos conjuntos: veja os guias sobre Naturais, Inteiros, Conjuntos Numéricos e a estrutura maior dos Reais.
Propriedades e fatos importantes
- 2 é o único primo par; todos os demais primos são ímpares.
- Existem infinitos números primos (prova clássica de Euclides).
- Entre dois inteiros consecutivos grandes, pode haver lacunas longas sem primos, mas eles nunca “acabam”.
- Primos são os “átomos” da aritmética: todo inteiro \(n\ge 2\) se decompõe de forma única (salvo ordem) em produto de primos.
Crivo de Eratóstenes (passo a passo)
Método simples para listar todos os primos até \(N\):
- Escreva os números de 2 a \(N\).
- Comece por 2: marque seus múltiplos (exceto o 2).
- Passe para o próximo número não marcado (3) e marque seus múltiplos.
- Repita até alcançar \(\lfloor\sqrt{N}\rfloor\). Os não marcados restantes são primos.
Teorema Fundamental da Aritmética
Todo inteiro \(n\ge 2\) pode ser escrito como produto de números primos de forma única (salvo a ordem dos fatores):
Essa unicidade permite comparar, somar e dividir números utilizando expoentes dos mesmos primos.
Fatoração em primos e número de divisores
Para fatorar um número \(n\), divida sucessivamente por primos (2,3,5,7,11,…). Se \(n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}\), então o número de divisores positivos de \(n\) é:
Ex.: \(360=2^3\cdot 3^2\cdot 5\Rightarrow \tau(360)=(3+1)(2+1)(1+1)=24\).
Testes práticos de primalidade
- Para verificar se \(n\) é primo, basta testar divisores \(\le \sqrt{n}\).
- Elimine pares (se \(n>2\) e \(n\) é par ⇒ composto).
- Teste divisibilidade por 3 (soma dos algarismos múltipla de 3), por 5 (termina em 0 ou 5), por 7, 11, 13, … até \(\sqrt{n}\).
- Para números muito grandes, usam-se testes probabilísticos (Miller–Rabin) — fora do escopo escolar básico.
Exemplos Resolvidos
Exemplo 1 — Primalidade de 221
Enunciado: \(221\) é primo?
Solução passo a passo
- \(\sqrt{221}\approx 14{,}86\). Testar primos até 13.
- Não é par; soma dos algarismos \(=2+2+1=5\) (não múltipla de 3).
- Teste 5: termina em 1 ⇒ não.
- Teste 7: \(221\div 7\) não é inteiro.
- Teste 11: \(221\div 11=20{,}09…\) ⇒ não.
- Teste 13: \(221=13\cdot 17\).
Conclusão: 221 é composto.
Exemplo 2 — Fatoração única
Enunciado: Fatore \(1260\).
Solução passo a passo
\(1260=126\cdot 10=(2\cdot 3^2\cdot 7)\cdot (2\cdot 5)=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7.\)
Exemplo 3 — Número de divisores
Enunciado: Quantos divisores positivos tem \(840\)?
Solução passo a passo
- Fatorar: \(840=84\cdot 10=(2^2\cdot 3 \cdot 7)\cdot (2\cdot 5)=2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\).
- \(\tau(840)=(3+1)(1+1)(1+1)(1+1)=4\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32\).
Exercícios Propostos
- (Primalidade) Determine se \(257\) é primo.
- (Fatoração) Fatore \(924\) em primos.
- (Divisores) Calcule \(\tau(360)\).
- (Sequência) Liste os primos entre 50 e 80.
- (Mersenne) \(2^{11}-1\) é primo?
- (Propriedade) Explique por que a soma de dois primos ímpares é sempre par.
- (Próximo primo) Qual o próximo primo após \(97\)?
- (Aplicação) Um número \(n\) tem fatoração \(n=2^3\cdot 3\cdot 5^2\). Quantos divisores pares \(n\) possui?
Gabarito (clique para ver)
1) Primo (257 não tem divisores até \(\sqrt{257}\approx 16\)).
2) \(924=2^2\cdot 3\cdot 7\cdot 11\).
3) \(\tau(360)=24\) (pois \(360=2^3\cdot 3^2\cdot 5\)).
4) \(53, 59, 61, 67, 71, 73, 79\).
5) \(2^{11}-1=2047=23\cdot 89\) ⇒ composto.
6) Ímpares \(+\) ímpares ⇒ soma de dois números da forma \(2k+1\) é \(2(k+\ell+1)\), que é par.
7) \(101\).
8) Divisores pares exigem ao menos \(2^1\): escolhas para 2 → \(\{1,2,3\}\) (exponentes 1–3), para 3 → \(\{0,1\}\), para 5 → \(\{0,1,2\}\). Total \(3\cdot 2\cdot 3=18\).
Leituras Relacionadas
- Números Naturais
- Números Inteiros
- Números Racionais
- Números Irracionais
- Números Reais
- Conjuntos Numéricos
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Resumo e Materiais
- ✔ Definição e propriedades de números primos
- ✔ Crivo de Eratóstenes
- ✔ Teorema Fundamental da Aritmética
- ✔ Fatoração, contagem de divisores e exercícios
