Questão 9 – OBMEP 2024
Ladrilhos quadrados com 1 metro de lado, como o da figura, foram utilizados para fazer um piso retangular. Quando se juntam quatro desses ladrilhos com um vértice em comum, sem sobreposição, forma-se um quadrado preto central. Se o piso mede 20 metros por 30 metros, qual é o número de quadrados pretos formados nesse piso?
Alternativas:
- (A) 551
- (B) 600
- (C) 580
- (D) 504
- (E) 560
Ver Solução
Entendendo o enunciado:
Sabemos que o piso é formado por ladrilhos de 1 metro por 1 metro e que, a cada grupo de 4 ladrilhos com vértices em comum, surge um quadrado preto. Queremos saber quantos desses quadrados serão formados em um piso de 20 m × 30 m.
Passo 1: Calcular o total de ladrilhos utilizados:
\(20 \times 30 = 600\) ladrilhos.
Passo 2: Entender o padrão de formação dos quadrados pretos:
Um quadrado preto é formado no encontro de 4 ladrilhos, ou seja, nos pontos de intersecção entre linhas e colunas.
Assim, o número de quadrados pretos será dado por:
\( (20 – 1) \times (30 – 1) = 19 \times 29 = 551 \)
Conclusão:
O piso formado com 600 ladrilhos produzirá exatamente 551 quadrados pretos.
Gabarito: Letra A
Outra solução:
Podemos imaginar os 20 × 30 ladrilhos formando uma malha com 21 linhas horizontais e 31 verticais, totalizando 651 pontos de encontro. Apenas os pontos que não estão nas bordas podem formar quadrados pretos.
Pontos de borda: \(2 \times 21 + 2 \times 29 = 100\).
Assim, \(651 – 100 = 551\) quadrados pretos.
