OBMEP 2024 – Nível 3 – Questão 7
Enunciado:
Vinte e quatro retas são desenhadas no plano de modo que cada reta seja paralela a exatamente outras três. Além disso, não há três retas que se cruzem em um mesmo ponto. Qual é o número total de pontos de interseção entre essas retas?
Alternativas:
- (A) 276
- (B) 120
- (C) 200
- (D) 240
- (E) 169
Ver Solução
1. Análise dos agrupamentos:
Como cada reta é paralela a 3 outras, temos 6 grupos de 4 retas paralelas (pois \( 24 \div 4 = 6 \)).
Dentro de cada grupo, as retas não se interceptam.
Mas cada reta de um grupo se cruza com todas as retas dos demais 5 grupos.
Ou seja, cada grupo de 4 retas encontra as retas de 5 grupos distintos:
\[ 4 \times 4 \times 5 = 80 \text{ interseções por grupo} \] Como há 6 grupos, o total seria \( 6 \times 80 = 480 \), mas estamos contando cada interseção duas vezes (uma por cada grupo envolvido), então devemos dividir por 2: \[ \frac{6 \times 4 \times 4 \times 5}{2} = \frac{480}{2} = 240 \]2. Resumo com fórmula:
O número total de pontos de interseção é dado por:
\[
\binom{6}{2} \times 4 \times 4 = 15 \times 16 = \boxed{240}
\]
Resposta correta: (D) 240
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