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Potenciação: definição, propriedades e exercícios resolvidos

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A potenciação é uma operação matemática utilizada para representar multiplicações repetidas de maneira simplificada.

Ela aparece frequentemente em conteúdos de Matemática Básica, álgebra, funções, notação científica, física, estatística e concursos públicos.

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Resumo completo sobre potenciação

O que é potenciação?

Potenciação é a operação que consiste em multiplicar um número por ele mesmo tantas vezes quanto indica o expoente.

\( a^n=a\cdot a\cdot a\cdots a \)

Onde:

  • \(a\) é a base;
  • \(n\) é o expoente;
  • \(a^n\) é a potência.
Importante: a base é o número que será multiplicado repetidamente, e o expoente indica quantas vezes isso ocorrerá.

Leitura das potências

A potência:

\( a^n \)

É lida como:

“a elevado a n”.

Exemplos:

  • \(2^3\) → dois elevado a três;
  • \(5^2\) → cinco elevado ao quadrado;
  • \(10^4\) → dez elevado à quarta potência.

Exemplos de potenciação

\( 2^3=2\cdot2\cdot2=8 \)
\( 5^2=5\cdot5=25 \)
\( (-3)^4=(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=81 \)
\( \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{8} \)

Propriedades da potenciação

Produto de potências de mesma base

Conservamos a base e somamos os expoentes.

\( a^m\cdot a^n=a^{m+n} \)

Exemplo:

\( 2^3\cdot2^2=2^5=32 \)

Quociente de potências de mesma base

Conservamos a base e subtraímos os expoentes.

\( \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \quad (a\neq0) \)

Exemplo:

\( \frac{3^5}{3^2}=3^3=27 \)

Potência de potência

Multiplicamos os expoentes.

\( (a^m)^n=a^{m\cdot n} \)

Exemplo:

\( (2^3)^2=2^6=64 \)

Potência de um produto

\( (ab)^n=a^n\cdot b^n \)

Exemplo:

\( (2\cdot3)^2=2^2\cdot3^2=36 \)

Potência de um quociente

\( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b\neq0) \)

Exemplo:

\( \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \)

Casos especiais da potenciação

\( a^0=1 \quad (a\neq0) \)
\( a^1=a \)
\( 0^n=0 \quad (n>0) \)
\( 1^n=1 \)

Regras de sinais

Base positiva

\( (+a)^n=+a^n \)

Base negativa com expoente par

\( (-a)^n=+a^n \)

Exemplo:

\( (-2)^4=16 \)

Base negativa com expoente ímpar

\( (-a)^n=-a^n \)

Exemplo:

\( (-2)^3=-8 \)
Atenção: o uso dos parênteses altera o resultado em potências com números negativos.

Potenciação e frações

Quando a base é uma fração, elevamos numerador e denominador ao expoente.

\( \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25} \)

Potenciação e notação científica

A potenciação também é muito utilizada na notação científica.

\( 3,5\times10^6 \)

Nesse caso:

\( 10^6=1000000 \)

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Exercícios resolvidos sobre potenciação

Questão 1. Calcule:

\( 2^4 \)
Ver solução
\( 2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16 \)

Questão 2. Determine:

\( 5^3 \)
Ver solução
\( 5^3=5\cdot5\cdot5=125 \)

Questão 3. Resolva:

\( (-2)^4 \)
Ver solução

Expoente par gera resultado positivo.

\( (-2)^4=16 \)

Questão 4. Resolva:

\( (-3)^3 \)
Ver solução

Expoente ímpar conserva o sinal negativo.

\( (-3)^3=-27 \)

Questão 5. Calcule:

\( \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
Ver solução
\( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)

Questão 6. Resolva:

\( 2^3\cdot2^2 \)
Ver solução
\( 2^{3+2}=2^5=32 \)

Questão 7. Determine:

\( \frac{5^4}{5^2} \)
Ver solução
\( 5^{4-2}=5^2=25 \)

Questão 8. Resolva:

\( (3^2)^3 \)
Ver solução
\( 3^{2\cdot3}=3^6=729 \)

Questão 9. Determine:

\( 10^0 \)
Ver solução
\( 10^0=1 \)

Questão 10. Resolva:

\( (2\cdot5)^2 \)
Ver solução
\( 2^2\cdot5^2 = 4\cdot25 = 100 \)

Resumo sobre potenciação

  • A base é o número multiplicado repetidamente;
  • O expoente indica quantas vezes ocorre a multiplicação;
  • Potências seguem propriedades importantes para simplificar cálculos;
  • O sinal depende da base e do expoente.
\( a^n=a\cdot a\cdot a\cdots a \)

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
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