Probabilidade Condicional — Definição, Fórmulas, Exemplos e Exercícios
Entenda \(P(A\mid B)\), a regra do produto, independência, Lei Total das Probabilidades e o Teorema de Bayes.
1) O que é Probabilidade Condicional?
A probabilidade condicional mede a chance de um evento \(A\) ocorrer sabendo que outro evento \(B\) já ocorreu:
Definição
\( \displaystyle P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \quad\text{(com } P(B)>0\text{)} \)
Condição essencial
Para definir \(P(A\mid B)\) é necessário que \(P(B) > 0\). Se \(P(B)=0\), a condição “\(B\) ocorreu” não tem sentido probabilístico (evento impossível) e a razão \(\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) não é definida.
Regra do Produto
\( P(A\cap B) = P(A\mid B)\,P(B) = P(B\mid A)\,P(A) \)
Independência
Eventos \(A\) e \(B\) são independentes quando o conhecimento de um não altera a chance do outro:
\( P(A\mid B)=P(A) \;\;\Longleftrightarrow\;\; P(A\cap B)=P(A)\,P(B) \)
2) Lei Total das Probabilidades e Teorema de Bayes
Lei Total das Probabilidades
Se \(B_1,B_2,\ldots,B_n\) formam uma partição do espaço (\(B_i\cap B_j=\varnothing\) e \(\cup_i B_i=\Omega\)), então:
\( P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A\mid B_i)\,P(B_i). \)
Teorema de Bayes
\( \displaystyle P(B_k\mid A) = \frac{P(A\mid B_k)\,P(B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A\mid B_i)\,P(B_i)}. \)
3) Exemplos Resolvidos
Exemplo 1 (sem reposição). Uma urna tem 5 bolas vermelhas e 3 azuis. Retiram-se duas bolas sem reposição.
Qual \(P(\text{2ª vermelha} \mid \text{1ª vermelha})\)?
Ver solução
Após sair uma vermelha, restam 4 vermelhas em 7 bolas.
\(P= \dfrac{4}{7}\approx 0{,}5714.\)
Exemplo 2 (baralho). Em um baralho comum, qual \(P(\text{rei} \mid \text{figura})\)?
Ver solução
Figuras = {J, Q, K} → 12 cartas; reis = 4.
\(P=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333.\)
Exemplo 3 (tabela de contingência). Em 120 alunos, 70 gostam de Matemática (\(M\)), 50 de Física (\(F\)) e 30 de ambos.
Qual \(P(M\mid F)\)?
Ver solução
\(P(M\mid F)=\dfrac{P(M\cap F)}{P(F)}=\dfrac{30/120}{50/120}=\dfrac{30}{50}=0{,}60.\)
Exemplo 4 (dois dados). Seja \(A=\{\text{soma par}\}\) e \(B=\{\text{soma}>7\}\) ao lançar dois dados honestos.
Calcule \(P(A\mid B)\).
Ver solução
\(|\Omega|=36\). \(B\): somas \(8,9,10,11,12\) ⇒ contagens \(5+4+3+2+1=15\) resultados.
\(A\cap B\): somas pares e >7 ⇒ \(8,10,12\) com \(5,3,1\) casos, totalizando \(9\).
\(P(A\mid B)=\dfrac{9/36}{15/36}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}=0{,}6.\)
Exemplo 5 (Bayes — teste diagnóstico).
Prevalência da doença: \(2\%\). Sensibilidade: \(95\%\) \((P(+\mid D)=0{,}95)\).
Falso positivo: \(1\%\) \((P(+\mid \overline{D})=0{,}01)\).
Qual \(P(D\mid +)\)?
Ver solução
\(P(D\mid +)=\dfrac{0{,}95\cdot 0{,}02}{0{,}95\cdot 0{,}02 + 0{,}01\cdot 0{,}98}
= \dfrac{0{,}019}{0{,}0288} \approx 0{,}6597 \) (≈ 66%).
4) Lista de Exercícios (A–E)
Questão 1.
Em um baralho comum, qual \(P(\text{carta vermelha} \mid \text{figura})\)?
(Considere figura = J, Q, K, sem Ás.)
- A) \( \dfrac{1}{4} \)
- B) \( \dfrac{1}{3} \)
- C) \( \dfrac{1}{2} \)
- D) \( \dfrac{2}{3} \)
- E) \( \dfrac{3}{4} \)
Ver solução
Entre as 12 figuras, 6 são vermelhas (copas/ouros). \(P=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\). Gabarito: C.
Questão 2. Urna com 7 vermelhas e 5 azuis. Retira-se uma bola azul e sem reposição retira-se outra. Qual \(P(\text{2ª azul} \mid \text{1ª azul})\)?
- A) \( \dfrac{5}{12} \)
- B) \( \dfrac{2}{5} \)
- C) \( \dfrac{4}{11} \)
- D) \( \dfrac{1}{3} \)
- E) \( \dfrac{1}{2} \)
Ver solução
Depois da 1ª azul: restam 4 azuis em 11 bolas. \(P=\dfrac{4}{11}\approx 0{,}3636\). Gabarito: C.
Questão 3. Dois dados honestos. Qual \(P(\text{soma}=10 \mid \text{1º dado}=6)\)?
- A) \( \dfrac{1}{12} \)
- B) \( \dfrac{1}{6} \)
- C) \( \dfrac{1}{4} \)
- D) \( \dfrac{1}{3} \)
- E) \( \dfrac{1}{2} \)
Ver solução
Com 1º=6, há 6 possibilidades igualmente prováveis para o 2º; somente (6,4) soma 10 → \(1/6\). Gabarito: B.
Questão 4. Em 200 clientes, 140 compram X, 110 compram Y e 70 compram ambos. Qual \(P(X\mid Y)\)?
- A) \( \dfrac{7}{11} \)
- B) \( \dfrac{2}{3} \)
- C) \( \dfrac{1}{2} \)
- D) \( \dfrac{3}{5} \)
- E) \( \dfrac{5}{7} \)
Ver solução
\(P(X\mid Y)=\dfrac{70/200}{110/200}=\dfrac{70}{110}=\dfrac{7}{11}\approx 0{,}636\). Gabarito: A.
Questão 5. Se \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\) e \(P(A\mid B)=0{,}4\), então:
- A) \(A\) e \(B\) são independentes.
- B) \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos.
- C) \(P(A\cap B)=0{,}9\).
- D) \(P(A\cap B)=0{,}4\).
- E) Nenhuma das anteriores.
Ver solução
\(P(A\mid B)=P(A)\Rightarrow\) independência. Logo **A** é verdadeira.
(Cheque: \(P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)=0{,}4\cdot 0{,}5=0{,}20\).)
Questão 6. Urna com 3 brancas e 2 pretas. Sem reposição. Qual \(P(\text{2ª preta} \mid \text{1ª branca})\)?
- A) \( \dfrac{2}{5} \)
- B) \( \dfrac{1}{2} \)
- C) \( \dfrac{2}{4} \)
- D) \( \dfrac{3}{5} \)
- E) \( \dfrac{1}{3} \)
Ver solução
Após retirar 1 branca, ficam 2 pretas em 4 bolas: \(2/4=1/2\). Gabarito: B.
Questão 7 (Bayes). Fábrica com 2 máquinas: \(P(M_1)=0{,}6\), \(P(M_2)=0{,}4\). Qualidade: \(P(G\mid M_1)=0{,}90\), \(P(G\mid M_2)=0{,}95\). Se uma peça é boa (\(G\)), qual \(P(M_2\mid G)\)?
- A) 0,32
- B) 0,38
- C) 0,41
- D) 0,46
- E) 0,50
Ver solução
\(P(G)=0{,}9\cdot0{,}6+0{,}95\cdot0{,}4=0{,}92\).
\(P(M_2\mid G)=\dfrac{0{,}95\cdot0{,}4}{0{,}92}\approx 0{,}413\). Gabarito: C.
Questão 8. Dois eventos com \(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}6\) e \(P(A\cap B)=0{,}18\). Calcule \(P(A\mid B)\).
- A) 0,18
- B) 0,30
- C) 0,36
- D) 0,50
- E) 0,60
Ver solução
\(P(A\mid B)=\dfrac{0{,}18}{0{,}6}=0{,}30\). Gabarito: B.
Gabarito
1) C 2) C 3) B 4) A 5) A 6) B 7) C 8) B
📚 Produtos e Materiais Exclusivos do Blog
Aprofunde seus estudos e acelere sua preparação:
Conclusão
Probabilidade condicional conecta eventos e permite atualizar crenças com novas informações. Revise os fundamentos em Probabilidade, aproxime teoria e prática com a Frequência Relativa, certifique-se dos eventos envolvidos, identifique quando o espaço é equiprovável e combine operações em união/interseção/complemento.
