(EsPCEx-SP) A quantidade de números inteiros ímpares que pertencem ao intervalo que satisfaz a inequação exponencial
$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2 – 8x + 5} > 4 $$
é de:
- a) um número ímpar.
- b) dois números ímpares.
- c) três números ímpares.
- d) quatro números ímpares.
- e) cinco números ímpares.
🔍 Ver solução passo a passo
1) Tornando a base da inequação igual:
Sabemos que \( 4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \). Assim, reescrevemos a inequação:
$$ \left( \frac{1}{2} \right)^{x^2 – 8x + 5} > \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} $$
2) Comparando os expoentes:
Como a base \( \frac{1}{2} \) é menor que 1, a função é **decrescente**. Então, ao comparar os expoentes, invertemos o sinal:
$$ x^2 – 8x + 5 < -2 $$
$$ x^2 – 8x + 7 < 0 $$
3) Resolvendo a inequação:
$$ \Delta = (-8)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 – 28 = 36 $$
$$ x_1 = \frac{8 – \sqrt{36}}{2} = \frac{8 – 6}{2} = 1 $$
$$ x_2 = \frac{8 + \sqrt{36}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7 $$
Como o coeficiente de \( x^2 \) é positivo, a parábola é voltada para cima. A inequação é satisfeita no intervalo:
$$ x \in (1,\ 7) $$
4) Contando os números ímpares nesse intervalo:
Números inteiros entre 1 e 7: 2, 3, 4, 5, 6
Números ímpares: 3 e 5
✅ Conclusão:
- Existem dois números ímpares que satisfazem a inequação: 3 e 5.
- Alternativa correta: b)
