Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos agrícolas, constatou-se que a ação do produto sobre a população de insetos em uma lavoura pode ser descrita pela expressão \( N(t) = N_0 \cdot 2^{kt} \), sendo \( N_0 \) a população no início do tratamento, \( N(t) \) a população após \( t \) dias de tratamento e \( k \) uma constante, que descreve a eficácia do produto.
Dados de campo mostraram que, após dez dias de aplicação, a população havia sido reduzida à quarta parte da população inicial. Com estes dados, podemos afirmar que o valor da constante de eficácia deste produto é igual a:
- a) \( 5^{-1} \)
- b) \( -5^{-1} \)
- c) 10
- d) \( 10^{-1} \)
- e) \( -10^{-1} \)
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Sabemos que \( N(t) = N_0 \cdot 2^{kt} \) e que após 10 dias, a população é reduzida a um quarto:
$$ \frac{N_0}{4} = N_0 \cdot 2^{k \cdot 10} $$
Dividindo ambos os lados por \( N_0 \):
$$ \frac{1}{4} = 2^{10k} $$
Sabemos que \( \frac{1}{4} = 2^{-2} \), então:
$$ 2^{-2} = 2^{10k} \Rightarrow -2 = 10k \Rightarrow k = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5} $$
Alternativa correta: b)
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