Sistemas lineares 3 × 3

Em sistemas 3×3 usamos as mesmas ideias do 2×2, mas com uma etapa extra de eliminação. Nesta página você vê Gauss (o mais seguro), adição/eliminação, substituição e a Regra de Cramer para \(\det\neq0\). Também aprende a classificar (SPD, SI, SPI) e pratica com exercícios. Para base e conexões: solução de um sistema linear, classificação (SPD, SI, SPI), escalonamento (Gauss) e métodos adição / substituição.

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Passos de Gauss/Gauss–Jordan, adição, substituição, Regra de Cramer e critérios SPD–SI–SPI. Perfeito para revisão rápida antes da prova.

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Métodos recomendados

Eliminação de Gauss: zere entradas abaixo dos pivôs, resolva por retro-substituição.
Adição/eliminação: combine equações para eliminar uma variável duas vezes, reduzindo a \(2\times2\).
Substituição: isole em uma equação, substitua nas outras duas (útil quando há coeficiente \(1\)).
Regra de Cramer: se \(\det(A)\neq0\), use determinantes para obter \(x,y,z\) rapidamente.

Exemplo central

Resolva

\(\begin{cases} 2x+y-z=7\\ x-3y+4z=-16\\ 3x-2y-2z=1 \end{cases}\)

Eliminação rápida (adição + substituição)

Da 1ª: \(y=7-2x+z\). Na 2ª: \(7x+z=5 \Rightarrow z=5-7x\). Na 3ª: \(7x-4z=15\). Substituindo \(z\): \(7x-4(5-7x)=15\Rightarrow 35x=35\Rightarrow x=1\). Então \(z=5-7(1)=-2\) e \(y=7-2(1)+(-2)=3\).

Solução: \((x,y,z)=(1,3,-2)\).

Verificação: \(2+3-(-2)=7\); \(1-9+4(-2)=-16\); \(3-6-2(-2)=1\) ✔️.

Mais exemplos

SPD com frações

\(\begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-y+z=7\\ -x+2y-z=-1 \end{cases}\)

Resolver

(2)-(1): \(x-2y=1\). (3)+(1): \(3y=5\Rightarrow y=\tfrac{5}{3}\). De \(x=1+2y=\tfrac{13}{3}\). Em (1): \(z=0\). Solução: \(\big(\tfrac{13}{3},\tfrac{5}{3},0\big)\).

SPI (infinitas soluções)

\(\begin{cases} x+y+z=3\\ 2x+2y+2z=6\\ 3x+3y+3z=9 \end{cases}\)

Classificar

Equações proporcionais ⇒ \(r=r_a=1<3\) ⇒ SPI. Ex.: \(x=3-y-z\) (do 1º plano) com dois parâmetros livres.

SI (sem solução)

\(\begin{cases} x+y+z=1\\ x+y+z=2\\ 2x+2y+2z=2 \end{cases}\)

Classificar

As duas primeiras são paralelas (mesmo LHS, independentes diferentes) ⇒ \(r_a>r\) ⇒ SI.

Exercícios (com gabarito)

1) Resolva o sistema do exemplo central.

Gabarito

\((1,3,-2)\).

2) \(\{\,2x+y+2z=9,\; x-y+z=2,\; 3x+2y+z=10\,\}\)

Gabarito

\(y=\tfrac{5}{3},\ z=\tfrac{13}{6},\ x=\tfrac{3}{2}\).

3) Classifique \(\{\,x+y+z=3,\ 2x+2y+2z=5,\ 3x+3y+3z=8\,\}\).

Gabarito

Coeficientes proporcionais, termos independentes não ⇒ \(r\ne r_a\) ⇒ SI.

4) Use Cramer em \(\{\,x+2y-z=1,\ 2x+y+z=4,\ 3x-y+2z=5\,\}\).

Gabarito

\(\Delta=6\neq0\Rightarrow\) SPD. \((x,y,z)=\big(1,\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3}\big)\).

5) Dê uma forma paramétrica para o SPI \(\{\,x-y+z=0,\ 2x-2y+2z=0,\ 3x-3y+3z=0\,\}\).

Gabarito

\(x-y+z=0\Rightarrow x=y-z\). Tome \(y=s,\ z=t\). Então \((x,y,z)=(s-t,s,t)\).

Conclusão

Para 3×3, Gauss é o caminho mais robusto; adição e substituição funcionam muito bem quando há coeficientes amigáveis; e Cramer resolve num tiro só quando \(\det(A)\neq0\). Classifique com Rouché–Capelli e descreva o conjunto solução (ponto, vazio ou família paramétrica).

Leve um resumo: eBook Fórmulas Matemática. Em seguida, pratique no Banco de Questões.