Sistemas Lineares — Definições, Conceitos e Exercícios
O que são sistemas lineares, como representar equações, a relação entre número de variáveis e equações, o espaço de soluções — e uma lista de exercícios resolvidos.
O que são sistemas lineares
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares nas mesmas incógnitas. Linearidade significa que cada equação é combinação linear das variáveis (sem potências, produtos entre variáveis ou funções não lineares).
Classificação quanto às soluções:
- SPD (possível determinado): existe uma única solução.
- SPI (possível indeterminado): existem infinitas soluções.
- SI (impossível): não existe solução.
Para técnicas de resolução e exemplos, veja o Guia de Métodos (substituição, adição, Cramer e Gauss).
Equações lineares e suas representações
Forma algébrica
Uma equação linear em \(n\) variáveis é \(a_1x_1+\cdots+a_nx_n=b\). Um sistema linear é um conjunto dessas equações escritas simultaneamente.
Forma matricial
Matriz aumentada
A forma matricial facilita o uso de Cramer e escalonamento de Gauss.
Número de variáveis e equações
Seja \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\). O posto (ou rank) \(r=\operatorname{rg}(A)\) mede a quantidade de linhas/colunas linearmente independentes de \(A\).
- Compatibilidade (existência de solução): o sistema é compatível sse \( \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}([A|\mathbf{b}]) \). Se os postos diferem, é SI.
- Unicidade: sendo compatível, há solução única sse \(r=n\) (todas as variáveis são determinadas).
- Graus de liberdade: se compatível e \(r
Para bases de álgebra e geometria analítica, consulte Função Afim e Números Reais.
Espaço de soluções
Se \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) é compatível, o conjunto de soluções é um conjunto afim (transladação de um subespaço). Para o sistema homogêneo \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\), o conjunto de soluções é um subespaço vetorial com dimensão \(n-\operatorname{rg}(A)\).
Decomposição: solução particular + núcleo
Exemplo com parametrização
Veja o espaço de soluções emergir via Gauss no escalonamento passo a passo.
Exercícios — Definições e Conceitos (com soluções)
Tente resolver e depois abra “Ver solução”. Se precisar, revise o Guia de Métodos.
1) Classificação (2×2)
\(\begin{cases}x+2y=4\\2x+4y=8\end{cases}\)
a) Classifique (SPD, SPI, SI). b) Descreva o conjunto solução.
Ver solução
b) \(x=4-2t,\ y=t,\ t\in\mathbb{R}\).
2) Solução direta (2×2)
\(\begin{cases}2x+3y=12\\4x-3y=6\end{cases}\)
Ver solução
Resposta: \((x,y)=(3,2)\) (SPD).
3) Compatibilidade por inspeção (2×2)
\(\begin{cases}x+y=3\\2x+2y=7\end{cases}\)
Ver solução
4) Forma matricial
Escreva \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) para \(\begin{cases}3x-y+2z=7\\4y-z=1\\5x+z=9\end{cases}\).
Ver solução
5) Matriz aumentada + passo de Gauss
Para o sistema do exercício 4, escreva \([A\,|\,\mathbf{b}]\) e faça \(L_3\leftarrow L_3-\frac{5}{3}L_1\).
Ver solução
Após a operação: \(\begin{bmatrix}3&-1&2&|&7\\0&4&-1&|&1\\0&\tfrac{5}{3}&-\tfrac{7}{3}&|&-\tfrac{8}{3}\end{bmatrix}\).
6) Posto, variáveis e graus de liberdade (3×3) —
\(A=\begin{bmatrix}1&2&1\\2&4&2\\0&0&0\end{bmatrix}\), \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\6\\0\end{bmatrix}\).
a) \(\operatorname{rg}(A)\) e \(\operatorname{rg}([A\,|\,\mathbf{b}])\). b) Classifique e indique os parâmetros. c) Descreva a solução.
Ver solução
Compatível ⇒ **SPI** com \(n-r=3-1=2\) parâmetros.
Única equação efetiva: \(x_1+2x_2+x_3=3\). Tome \(x_2=s,\ x_3=t\):
\(x_1=3-2s-t\Rightarrow \mathcal{S}=\{(3-2s-t,\ s,\ t): s,t\in\mathbb{R}\}.\)
7) Sistema homogêneo (dimensão do núcleo)
Em \(A\in\mathbb{R}^{4\times 6}\) com \(\operatorname{rg}(A)=3\): a) \(\dim(\ker A)\)? b) Interpretação geométrica.
Ver solução
b) Subespaço linear de dimensão 3 em \(\mathbb{R}^6\).
8) Consistência por inspeção (3×3)
\(\begin{cases}x+y+z=3\\2x+2y+2z=6\\x+y+z=4\end{cases}\)\ — classifique.
Ver solução
9) Parametrização (2×2)
\(\begin{cases}x-y=0\\x+y=2\end{cases}\) — a) Resolva; b) Interprete geometricamente.
Ver solução
Interseção das retas \(x-y=0\) e \(x+y=2\) no ponto \((1,1)\).
10) Identifique o tipo a partir de \(m,n,r\)
Para \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\), com \(\operatorname{rg}(A)=r\) e \(\operatorname{rg}([A\,|\,\mathbf{b}])=r’\):
a) \(r=r’=n\Rightarrow\) _____. b) \(r=r’Ver solução
b) **SPI** (infinitas soluções; \(n-r\) parâmetros).
c) **SI** (incompatível).
Produtos do Blog
Materiais para acelerar seus estudos de Matemática — mapas mentais, e-books, questões comentadas e muito mais:
