Triângulo Inscrito (Triângulo Cíclico)

Vértices \(A,B,C\) pertencem à mesma circunferência. O ponto \(O\) é o circuncentro e \(R\) é o raio.

Panorama geral: Tipos de triângulos. Versão com foco em circunferências e incírculo: Triângulo inscrito na circunferência.

Definição

Um triângulo inscrito (ou triângulo cíclico) é aquele em que os três vértices estão sobre uma mesma circunferência, chamada circunferência circunscrita. O ponto de encontro das mediatrizes dos lados é o circuncentro \(O\) e sua distância aos vértices é o raio \(R\).

Posição de \(O\): interna no acutângulo; no ponto médio da hipotenusa no retângulo; externa no obtusângulo. Consulte: acutângulo, retângulo, obtusângulo.
Ângulos: ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco são congruentes; um ângulo inscrito mede metade do ângulo central correspondente.
Diâmetro como lado: se um lado do triângulo é diâmetro, o ângulo oposto é reto (Teorema de Tales).

Fórmulas essenciais (uma por linha)

Lei dos Senos estendida: \( \displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \). Relações diretas: \( \displaystyle a=2R\sin A,\quad b=2R\sin B,\quad c=2R\sin C \). Área pelo raio \(R\): \( \displaystyle A=\frac{abc}{4R} \). Heron (apoio): \( \displaystyle A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad s=\frac{a+b+c}{2}. \)

Classificação por lados: equilátero, isósceles, escaleno. Técnicas de área: Área de triângulo. Centros: Pontos notáveis.

Exemplos resolvidos (passo a passo vertical)

Exemplo 1 — Em um triângulo inscrito, \(a=12\) e \(A=40^\circ\). Calcule \(R\).

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\(R=\dfrac{a}{2\sin A}\)
\(=\dfrac{12}{2\sin 40^\circ}\)
\(=\dfrac{12}{2\cdot 0{,}6428}\)
\(=\dfrac{12}{1{,}2856}\)
\(\approx 9{,}34\).

Exemplo 2 — Para \(a=7\), \(b=8\), \(c=9\), determine \(R\).

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\(s=\dfrac{7+8+9}{2}=12\)

\(A=\sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}\)
\(=\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}\)
\(=12\sqrt{5}\)\(\;\approx 26{,}833\)

\(R=\dfrac{abc}{4A}\)
\(=\dfrac{7\cdot 8\cdot 9}{4\cdot 12\sqrt5}\)
\(=\dfrac{504}{48\sqrt5}\)
\(=\dfrac{10{,}5}{\sqrt5}\approx 4{,}69\).

Exemplo 3 — Se \(A=90^\circ\) em um triângulo inscrito, relacione \(a\) e \(R\).

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A hipotenusa coincide com o diâmetro da circunferência.

\(a=2R\).

Exercícios de múltipla escolha (com solução em abre/fecha)

1) Em triângulo inscrito, \(a=14\) e \(A=30^\circ\). O raio \(R\) é:

A) 8,0 B) 14 C) \(7\sqrt3\) D) \(14\sqrt3\) E) \( \dfrac{7}{\sqrt3} \)

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\(2R=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{14}{\tfrac12}=28\Rightarrow R=14\).

2) Se \(R=10\) e \(A=\arcsin(0{,}6)\), então \(a\) vale:

A) 6 B) 10 C) 12 D) 16 E) 20

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\(a=2R\sin A=2\cdot 10\cdot 0{,}6=12\).

3) Em um triângulo inscrito, ângulos que subtendem o mesmo arco são:

A) Complementares B) Suplementares C) Congruentes D) Agudos E) Retos

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Ângulos inscritos sobre o mesmo arco são iguais ⇒ congruentes.

4) Para \(a=6\), \(b=7\), \(c=8\) e \(R= \dfrac{abc}{4A}\), então a área \(A\) é:

A) \( \dfrac{abc}{4R} \) B) \( \dfrac{ab}{2}\sin C \) C) \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) D) Todas as anteriores E) Nenhuma

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Todas são expressões corretas para \(A\). Alternativa D.

5) Se \(A=90^\circ\) em triângulo inscrito, então:

A) \(a=R\) B) \(a=R\sqrt2\) C) \(a=2R\) D) \(R=0\) E) \(a=R/2\)

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Hipotenusa = diâmetro ⇒ \(a=2R\). Alternativa C.

6) Num triângulo equilátero de lado \(a\), o raio da circunferência circunscrita é:

A) \(a/2\) B) \(a/\sqrt2\) C) \(a/\sqrt3\) D) \(2a\) E) \(a\sqrt3\)

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\(a=2R\sin 60^\circ \Rightarrow R=a/\sqrt3\). Alternativa C. Veja triângulo equilátero.

7) Os lados de um triângulo são \(8, 15, 17\). O valor de \(R\) é:

A) 8,0 B) 9,0 C) 8,5 D) 17 E) 7,5

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Triângulo retângulo (\(8^2+15^2=17^2\)). Hipotenusa \(=17=2R\Rightarrow R=8{,}5\).

8) Se \(R=7\) e \(B=45^\circ\), então \(b\) é:

A) 7 B) 9 C) 10 D) \(7\sqrt2\) E) 14

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\(b=2R\sin B=14\cdot \frac{\sqrt2}{2}=7\sqrt2\). Alternativa D.

9) Para \(a=9\), \(b=10\), \(c=11\), calcule \(R\) (aprox.).

A) 5,0 B) 6,4 C) 6,0 D) 4,5 E) 7,0

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\(s=\dfrac{9+10+11}{2}=15\)

\(A=\sqrt{15\cdot 6\cdot 5\cdot 4}=\sqrt{1800}=42{,}426…\)

\(R=\dfrac{abc}{4A}=\dfrac{990}{4\cdot 42{,}426}\approx 5{,}83\)

Opção mais próxima: C) 6,0.

10) Qual afirmação está correta?

A) \(R\) independe de \(a,b,c\). B) \(\dfrac{a}{\sin A}=2R\). C) Se \(a=2R\), então \(A=60^\circ\). D) Se \(R\) aumenta, \(a\) diminui para ângulo fixo.

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Lei dos Senos estendida: \(a=2R\sin A \Rightarrow \dfrac{a}{\sin A}=2R\). Correta: B.