Considere as funções \( f(x) = x^2 + x + c \) e \( g(x) = x + k \), onde \( c \) e \( k \) são números reais.
a) Determine os valores de \( k \) e \( c \) para que se tenha: \[ f(g(1)) – g(f(1)) < 0 \]
b) Sabendo que a equação \( f(x)=0 \) tem uma única solução real, determine o(s) valor(es) de \( k \) para que a soma das soluções da equação \[ f(g^{-1}(x)) = \frac{1}{4} \] seja igual a 2025, onde \( g^{-1}(x) \) denota a função inversa de \( g(x) \).
a) Determinando \( k \) e \( c \):
\[ f(g(1)) – g(f(1)) < 0 \] \[ f(1+k) - g(1+c) < 0 \] \[ (1+k)^2 + (1+k) + c - [(2+c)+k] < 0 \] \[ k^2 + 2k < 0 \]
Logo, \( k \in (-2,0) \) e \( c \in \mathbb{R} \).
b) Determinando \( k \) para a soma das soluções:
1) \( g(x) = x+k \implies g^{-1}(x) = x-k \)
2) Substituindo na equação: \[ f(g^{-1}(x)) = (x-k)^2 + (x-k) + c = \frac{1}{4} \]
3) Soma das soluções: \[ -\frac{b}{a} = 2k-1 \] Igualando a 2025: \[ 2k-1 = 2025 \implies k = 1013 \]
Resposta Final: a) \( k \in (-2,0), \ c \in \mathbb{R} \) b) \( k = 1013 \)
