11 Questões Resolvidas de Matemática com Gráficos e Figuras – Passo a Passo Visual
Ads
Domine os principais temas de Matemática com esta seleção de 11 questões comentadas, todas com imagens, esquemas e soluções passo a passo. Ideal para quem está se preparando para vestibulares, concursos ou olimpíadas. Aprenda de forma clara com aplicação de Teorema de Pitágoras, Semelhança de Triângulos, Porcentagem, Geometria Plana, Funções e muito mais. Ao final de cada questão, indicamos materiais de apoio como mapas mentais e eBooks gratuitos.
Questão 1
A figura acima mostra um armário de banheiro que tem o formato de um trapézio. A altura total do armário é de 42 cm e ele está dividido em três compartimentos. As medidas de um dos lados de cada compartimento estão indicadas na figura.
Ads
Desprezando a espessura das divisórias, podemos afirmar que no compartimento do meio podemos colocar um produto com altura máxima de:
Alternativas:
a) 10 cm
b) 14 cm
c) 18 cm
d) 21 cm
e) 25 cm
Solução Passo a Passo:
Vamos chamar a altura do compartimento superior de \( x \). Segundo a figura, o compartimento do meio mede \( 3x \) e o inferior mede \( 2x \).
(Unemat-MT) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se mais tarde, a sombra do poste diminuir 50 cm, a sombra da pessoa passará a medir:
Alternativas:
a) 30 cm
b) 45 cm
c) 48 cm
d) 36 cm
e) 25 cm
Solução Passo a Passo:
Vamos usar a semelhança dos triângulos formados pela pessoa e pelo poste com suas respectivas sombras.
Altura da pessoa: \( h = 1{,}8 \, \text{m} \)
Sombra da pessoa: \( s = 0{,}6 \, \text{m} \)
Sombra do poste: \( S = 2{,}0 \, \text{m} \)
Vamos determinar a altura do poste \( H \), usando a proporção:
📏 Estude Mais: Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Aprofunde seu conhecimento com o artigo completo que explica passo a passo como aplicar as relações métricas no triângulo retângulo. Ideal para quem deseja dominar esse tema com teoria e exemplos visuais!
📏 Estude Mais: Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Aprofunde seu conhecimento com o artigo completo que explica passo a passo como aplicar as relações métricas no triângulo retângulo. Ideal para quem deseja dominar esse tema com teoria e exemplos visuais!
(IFSC) Para determinar a altura de um poste, Ana utilizou o seguinte artifício, com o auxílio de uma colega: mediu sua sombra e a do poste, obtendo 2,4 m e 3,7 m, respectivamente. Se Ana tem 1,5 m de altura, então é CORRETO afirmar que a altura do poste é de:
Alternativas:
a) 1,0 m
b) 2,3 m
c) 5,9 m
d) 2,6 m
e) 2,0 m
Solução Passo a Passo:
A situação envolve proporcionalidade entre altura e sombra, já que Ana e o poste estão sob o mesmo sol.
Dados:
Altura de Ana: \( 1{,}5 \, \text{m} \)
Sombra de Ana: \( 2{,}4 \, \text{m} \)
Sombra do poste: \( 3{,}7 \, \text{m} \)
(UFU-MG) Uma área delimitada pelas Ruas 1 e 2 e pelas Avenidas A e B tem a forma de um trapézio \( ADD’A’ \), com \( AD = 90 \, \text{m} \) e \( A’D’ = 135 \, \text{m} \), como mostra o esquema da figura abaixo:
Essa área foi dividida em terrenos \( ABB’A’ \), \( BCC’B’ \) e \( CDD’C’ \), todos na forma trapezoidal, com bases paralelas às avenidas, tais que:
\( AB = 40 \, \text{m} \)
\( BC = 30 \, \text{m} \)
\( CD = 20 \, \text{m} \)
De acordo com essas informações, a diferença, em metros, \( A’B’ – C’D’ \) é igual a:
a) 20
b) 30
c) 15
d) 45
Solução Passo a Passo:
O enunciado nos informa que os triângulos e trapézios são semelhantes, então podemos aplicar o Teorema de Tales para obter os valores de \( A’B’ \) e \( C’D’ \).
(UEA-AM) A circunferência \( \gamma \) está inscrita no triângulo isósceles \( ABC \) de altura \( 12 \, \text{cm} \) e base medindo \( 10 \, \text{cm} \), conforme a figura:
O raio da circunferência \( \gamma \) mede:
a) \( \dfrac{16}{3} \) cm
b) \( \dfrac{14}{5} \) cm
c) \( \dfrac{18}{7} \) cm
d) \( \dfrac{10}{3} \) cm
e) \( \dfrac{12}{5} \) cm
Solução Passo a Passo:
Vamos usar o triângulo \( BPC \), que é retângulo, para aplicar o Teorema de Pitágoras e descobrir o valor de \( BC \):
(Fuvest-SP) Na figura abaixo, as distâncias dos pontos \( A \) e \( B \) à reta \( r \) valem \( 2 \) e \( 4 \). As projeções ortogonais de \( A \) e \( B \) sobre essa reta são os pontos \( C \) e \( D \). Se a medida de \( \overline{CD} \) é \( 9 \), a que distância de \( C \) deverá estar o ponto \( E \), do segmento \( \overline{CD} \), para que \( \angle CEA \cong \angle DEB \)?
Alternativas:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Solução Passo a Passo:
Vamos usar semelhança de triângulos.
Queremos que os triângulos \( \triangle ACE \) e \( \triangle BDE \) sejam semelhantes, ou seja:
\[
\angle CEA \cong \angle DEB \quad \text{e} \quad \angle C \cong \angle D \ (\text{ambos retos})
\]
Então podemos escrever a proporção:
\[
\frac{ED}{CE} = \frac{4}{2} = 2
\]
Sabemos que \( CD = 9 \), então:
\[
ED = 9 – CE
\Rightarrow \frac{9 – CE}{CE} = 2
\]
Multiplicando cruzado:
\[
9 – CE = 2 \cdot CE
\Rightarrow 9 = 3 \cdot CE
\Rightarrow CE = \boxed{3}
\]
(IFPE) Ramon, Alexandre e Milton são alunos do curso de Informática no Campus Afogados da Ingazeira e estão testando um robô para participar de olimpíadas de robótica.
Um dos exercícios consistia em fazer o robô realizar os seguintes comandos:
Andar 30 cm em linha reta;
Realizar um giro de 90° à direita;
Andar mais 40 cm em linha reta;
Retornar ao ponto inicial no menor percurso possível.
Sobre o trajeto percorrido pelo robô, neste teste, é CORRETO afirmar que:
a) forma um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 50 cm.
b) forma um triângulo retângulo cujo perímetro mede 100 cm.
c) forma um triângulo retângulo e isósceles.
d) forma um paralelogramo cujo perímetro mede 140 cm.
e) forma um paralelogramo cujas diagonais medem 50 cm.
Solução Passo a Passo:
O robô andou 30 cm em linha reta, virou 90° e andou mais 40 cm, formando dois lados de um triângulo.
Como o ângulo entre os segmentos é de 90°, o triângulo formado é retângulo.
Para retornar ao ponto inicial, o robô percorre a hipotenusa do triângulo.
(UFRGS-RS) Considere o retângulo \(ABCD\) de lados \( AB = 4 \) e \( AD = 2 \), e o ponto médio \( M \) de \( AB \).
Traçando a reta mediatriz do lado \( AB \), determina-se o segmento \( MN \), com \( N \) na interseção da mediatriz com \( DC \).
Considere um ponto \( P \) construído sobre o segmento \( MN \), e os segmentos \( PD \) e \( PC \), como mostra a figura abaixo.
Tomando \( x \) como a medida do segmento \( PN \), considere \( S(x) \) a função que expressa a soma das medidas dos segmentos \( PM \), \( PD \) e \( PC \) em função de \( x \).
Para \( 0 \leq x \leq 2 \), \( S(x) \) é:
a) \( x + 2\sqrt{x^2 + 4} \)
b) \( (2 – x) + 2(x^2 + 4) \)
c) \( (2 – x) + \sqrt{x^2 + 4} \)
d) \( x + \sqrt{x^2 + 4} \)
e) \( (2 – x) + 2\sqrt{x^2 + 4} \)
Solução Passo a Passo:
Sabemos que \( AD = 2 \), e como \( P \) está a \( x \) unidades de \( N \), a distância de \( P \) até \( M \) será:
\[
PM = 2 – x
\]
Pelo desenho, temos também \( CP = PD \). Podemos calcular a medida de \( CP \) (ou \( PD \)) usando o Teorema de Pitágoras:
(Cefet-MG) Na figura a seguir, o segmento \( \overline{AC} \) representa uma parede cuja altura é \( 2{,}9 \, \text{m} \). A medida do segmento \( \overline{AB} \) é \( 1{,}3 \, \text{m} \), e o segmento \( \overline{CD} \) representa o beiral da casa.
Os raios de sol \( r_1 \) e \( r_2 \) passam ao mesmo tempo pela casa e pelo prédio, respectivamente. O prédio possui \( 8 \, \text{m} \) de altura e está a \( 3 \, \text{m} \) da parede da casa.
Sabendo que \( r_1 \parallel r_2 \), o comprimento do beiral \( \overline{CD} \), em metros, é:
a) 0,60
b) 0,65
c) 0,70
d) 0,75
Solução Passo a Passo:
A altura da parede é \( AC = 2{,}9 \, \text{m} \) e a parte abaixo do beiral mede \( AB = 1{,}3 \, \text{m} \). Assim, o segmento \( BC \), que representa a altura entre o beiral e a extremidade da sombra da parede, é:
\[
BC = AC – AB = 2{,}9 – 1{,}3 = 1{,}6 \, \text{m}
\]
Sabemos que \( r_1 \parallel r_2 \), então, pelo Teorema de Tales, podemos escrever a seguinte proporção entre os segmentos semelhantes:
(FGV-SP) O paralelogramo \(ABCD\), indicado na figura abaixo, possui:
\( BE = \dfrac{BC}{4} \)
\( DF = \dfrac{AD}{3} \)
\( G \) é o ponto de interseção de \( \overline{EF} \) com \( \overline{AC} \)
A área do triângulo \( GCE \) supera a do triângulo \( GAF \), aproximadamente:
a) 27%
b) 25%
c) 21%
d) 11%
e) 6%
Solução Passo a Passo:
Sabemos que:
\[
CE = \frac{3}{4} \cdot BC
\quad \text{e} \quad
AF = \frac{2}{3} \cdot AD
\]
Como \( AD = BC \) (lados opostos de um paralelogramo), podemos reescrever:
\[
AF = \frac{2}{3} \cdot BC
\]
Agora analisamos os triângulos \( GCE \) e \( GAF \). Ambos têm dois ângulos iguais (ângulo \( \widehat{A} \cong \widehat{C} \) e o ângulo comum \( \widehat{G} \)), então são semelhantes (caso AA).
📏 Estude Mais: Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Aprofunde seu conhecimento com o artigo completo que explica passo a passo como aplicar as relações métricas no triângulo retângulo. Ideal para quem deseja dominar esse tema com teoria e exemplos visuais!
Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
