1. Clássico triângulo de Pitágoras:
Observamos que os catetos da escada formam proporção 3:4, o que indica o uso do triângulo pitagórico \( (3, 4, 5) \).

Somando os 5 degraus:
\[ 24 + 24 + 24 + 24 + 24 = 120\,\text{cm} \] Altura total: \( 90\,\text{cm} \)

Aplicando o Teorema de Pitágoras: \[ 120^2 + 90^2 = C^2 \] \[ 14400 + 8100 = C^2 \] \[ C^2 = 22500 \Rightarrow C = \sqrt{22500} = 150\,\text{cm} \]

2. Abordagem alternativa (redução proporcional):
Podemos dividir os catetos por 30 para facilitar os cálculos: \[ \frac{120}{30} = 4, \quad \frac{90}{30} = 3 \] Aplicando o Teorema de Pitágoras: \[ 4^2 + 3^2 = C^2 \Rightarrow 16 + 9 = 25 \Rightarrow C = \sqrt{25} = 5 \] Multiplicando novamente por 30 para voltar à proporção real: \[ 5 \times 30 = 150\,\text{cm} \]

3. Corrimão completo:
Considerando as duas projeções horizontais de 30 cm em cada extremidade: \[ 150 + 30 + 30 = 210\,\text{cm} = 2{,}1\,\text{m} \]

✅ Gabarito: Letra d) 2,1 m

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1. Entendendo o problema:
Temos um triângulo retângulo com um cateto medindo \(16\ \text{m}\), e a hipotenusa é 8 metros maior que o outro cateto.

2. Definindo as variáveis:
Seja \(x\) o outro cateto.
Então, a hipotenusa será \(x + 8\).

3. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
\[ x^2 + 16^2 = (x + 8)^2 \] \[ x^2 + 256 = x^2 + 16x + 64 \]

4. Cancelando \(x^2\) dos dois lados:
\[ 256 = 16x + 64 \Rightarrow 192 = 16x \Rightarrow x = 12 \]

5. Calculando a hipotenusa:
\[ \text{Hipotenusa} = x + 8 = 12 + 8 = \boxed{20\ \text{m}} \]

✅ Resposta correta: 20 metros

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1. Informações fornecidas:
– Hipotenusa \(c = 5\ \text{cm}\)
– Altura relativa à hipotenusa: \(h = 2{,}4\ \text{cm}\)

2. Aplicando a fórmula da área:
A área \(A\) de um triângulo pode ser calculada por: \[ A = \frac{c \cdot h}{2} = \frac{5 \cdot 2{,}4}{2} = \frac{12}{2} = 6\ \text{cm}^2 \] Portanto, conhecemos a área e a hipotenusa. Mas isso não é suficiente para determinar os catetos, pois eles podem variar mantendo a mesma área.

3. Relação métrica:
Sabemos que: \[ h^2 = m \cdot n \quad \text{e} \quad m + n = c = 5 \] Mas com apenas duas equações e três incógnitas (\(m, n, h\)), não é possível determinar unicamente os catetos \(a\) e \(b\), pois: \[ a^2 = c \cdot m, \quad b^2 = c \cdot n \] sem saber o valor de \(m\) ou \(n\), não podemos achar \(a\) nem \(b\).

4. Conclusão:
Não é possível determinar os catetos apenas com a hipotenusa e a altura relativa a ela.
Seria necessário conhecer pelo menos:

• O valor de um dos catetos, ou
• Uma das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

✅ Resposta: Não, pois faltam dados.

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1. Análise da figura:
Como \(AMCN\) é um losango, temos:
\[ AN = MC = AM = CN = x \]

2. No triângulo \(ADN\):
\[ AD^2 + DN^2 = AN^2 \Rightarrow 10^2 + DN^2 = x^2 \Rightarrow 100 + DN^2 = x^2 \tag{1} \]

3. No triângulo \(MBC\):
\[ MB = AB – AM = 20 – x \] \[ MB^2 + BC^2 = MC^2 \Rightarrow (20 – x)^2 + 10^2 = x^2 \] Expandindo: \[ (20 – x)^2 = 400 – 40x + x^2 \Rightarrow 400 – 40x + x^2 + 100 = x^2 \Rightarrow 500 – 40x = 0 \Rightarrow x = \frac{500}{40} = 12{,}5 \]

4. Com isso:
\[ AM = CN = 12{,}5\,\text{cm} \quad\text{e}\quad MB = 20 – 12{,}5 = 7{,}5\,\text{cm} \]

5. Encontrando \(NB\):
No triângulo \(NBC\), temos: \[ NB^2 = NC^2 + BC^2 \] \[ \text{Como } NC = CD – DN \text{ e } DN = \sqrt{x^2 – AD^2} \] \[ DN = \sqrt{12{,}5^2 – 10^2} = \sqrt{156{,}25 – 100} = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5\,\text{cm} \Rightarrow NC = 20 – 7{,}5 = 12{,}5\,\text{cm} \] \[ NB^2 = 12{,}5^2 + 10^2 = 156{,}25 + 100 = 256{,}25 \Rightarrow NB = \sqrt{256{,}25} \approx 16{,}007\,\text{cm} \]

✅ Resposta final: Aproximadamente \( \boxed{16\ \text{cm}} \)

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1. Análise do padrão:
Cada figura representa um quadrado de ordem crescente:

• 1ª figura → \(1^2 = 1\)
• 2ª figura → \(2^2 = 4\)
• 3ª figura → \(3^2 = 9\)
• 4ª figura → \(4^2 = 16\)
• …

A 11ª figura representa:

\[ 11^2 = 121 \]

Desejamos encontrar o valor de \(n\) tal que as figuras 4ª, 11ª e \(n\) formem uma tripla pitagórica, ou seja:

\[ 4^2 + 11^2 = n^2 \]

2. Aplicando o Teorema de Pitágoras:

\[ 16 + 121 = n^2 \] \[ 137 = n^2 \] \[ n = \sqrt{137} \approx 11{,}7 \]

Como os quadrados são numerados com base em números inteiros, e não existe figura “11,7”, a figura mais próxima que representa esse valor é:

\[ n = 12 \]

✅ Resposta correta: Letra b) 12

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1. Trecho em terra:
De \(R\) até \(S\), o encanamento é feito por terra.

\[ RS = 1.700\ \text{m} \]

2. Trecho no rio:
Do ponto \(S\) ao ponto \(U\), a instalação atravessa o rio. Precisamos calcular o comprimento do segmento \(SU\), que forma um triângulo retângulo com catetos:

\[ ST = 2.000 – 1.700 = 300\ \text{m} \] \[ TU = 400\ \text{m} \]

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

\[ SU^2 = ST^2 + TU^2 \] \[ SU^2 = 300^2 + 400^2 \] \[ SU^2 = 90.000 + 160.000 = 250.000 \] \[ SU = \sqrt{250.000} = 500\ \text{m} \]

3. Cálculo do custo:

Trecho em terra:

\[ 1.700 \times 400 = R\$ 680.000 \]

Trecho no rio:

\[ 500 \times 830 = R\$ 415.000 \]

4. Custo total:

\[ C_{\text{total}} = 680.000 + 415.000 = \boxed{R\$ 1.095.000} \]

✅ Resposta correta: Letra d) R\$ 1.095.000,00

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O triângulo \( ABC \) é retângulo em \( A \), então aplicamos o Teorema de Pitágoras:

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)

\[ 196^2 = 84^2 + 140^2 \] \[ 38416 = 7056 + 19600 \] \[ 38416 = 26656 \quad \text{(não confere!)} \]

Na verdade, a hipotenusa deve ser o lado oposto ao ângulo reto. Como o ângulo reto é em \( A \), o lado oposto é \( BC = 196 \).

Para encontrar \( H \), usamos o triângulo retângulo \( ABC \), com catetos \( H \) e \( x \), e hipotenusa \( AC = 140 \).

\[ H^2 + x^2 = 140^2 \]

Sabemos que:

\[ x = BC – AB = 196 – 84 = 112\ \text{m} \] \[ H^2 = 140^2 – 112^2 \] \[ H^2 = 19600 – 12544 = 7056 \] \[ H = \sqrt{7056} = \boxed{60\ \text{m}} \]

✅ Resposta correta: Letra d) 60 m

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