Divisão Proporcional — Direta e Inversa

Explicação simples e prática: escreva as partes com uma única constante k, ajuste pelo total e calcule cada parcela. Sem somatórios!

Quando usar divisão proporcional?

Usamos divisão proporcional para repartir um total de forma justa segundo um critério: pontos, horas, capital investido, tempo gasto, distância, custo etc.

Ideia central: transforme o(s) critério(s) em pesos e reparta o total segundo esses pesos. Em direta, mais peso ⇒ parte maior. Em inversa, mais peso ⇒ parte menor.

Divisão diretamente proporcional

direta

Se as partes são diretas a $a:b:c$, escreva tudo com uma única constante k e use o total.

\[ x=a\,k,\qquad y=b\,k,\qquad z=c\,k. \] Como $x+y+z=T$ (total), então \[ k=\frac{T}{a+b+c}. \]

Exemplo (direta): dividir 320 em partes 5 : 7 : 4

$x=5k,\ y=7k,\ z=4k$.
$5k+7k+4k=320 \Rightarrow 16k=320 \Rightarrow k=20.$

Partes: $x=100,\ y=140,\ z=80$.

Divisão inversamente proporcional

inversa

Se as partes são inversas a $a:b:c$, use os recíprocos com a mesma k e ajuste pelo total.

\[ x=\frac{k}{a},\qquad y=\frac{k}{b},\qquad z=\frac{k}{c}. \] Como $x+y+z=T$, então \[ k=\frac{T}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}. \]

Exemplo (inversa): dividir 390 em partes inversas 2 : 5 : 6

$x=\tfrac{k}{2},\ y=\tfrac{k}{5},\ z=\tfrac{k}{6}$.
$\left(\tfrac12+\tfrac15+\tfrac16\right)k=390 \Rightarrow \tfrac{13}{15}k=390 \Rightarrow k=450.$

Partes: $x=225,\ y=90,\ z=75$.

Aplicações em partilhas, investimentos e prêmios

Partilhas e prêmios: por pontuação, cotas, produtividade (direta) ou por tempo gasto/custos (inversa).
Investimentos: dividir lucros/prejuízos por capital (direta) ou por capital × tempo (ver Regra de Sociedade).
Rateios de despesas: cada pessoa paga segundo um critério (direta) ou inversamente a um fator compensatório (inversa).

Checklist: padronize unidades (horas com horas, pontos com pontos), identifique se é direta ou inversa, escreva as partes com k e ajuste pelo total.

Exercícios (múltipla escolha com solução)

Use o método da constante k. Abra para ver a solução.

1) Direta — 2 : 3 : 5

Divida R$ 600 em partes diretamente proporcionais a $2:3:5$. Quanto vale a terceira parte?

Ver solução

$2k+3k+5k=600 \Rightarrow 10k=600 \Rightarrow k=60$. Terceira: $5k=300$.
Gabarito: C

2) Inversa — 2 : 3 : 6

Divida R$ 360 em partes inversamente proporcionais a $2:3:6$. Qual é a primeira parte?

Ver solução

$(\tfrac12+\tfrac13+\tfrac16)k=360 \Rightarrow 1\cdot k=360$. Primeira: $360/2=180$.
Gabarito: D

3) Direta — investimento (4k, 6k, 10k)

Lucro de R$ 5.400 será dividido entre capitais R$ 4.000, R$ 6.000 e R$ 10.000. A parte do maior capital é:

Ver solução

Proporção $4:6:10$ (soma 20). Maior cota 10 → $5400\times 10/20=2700$.
Gabarito: B

4) Inversa — tempo 10, 15, 30 min

R$ 1.200 serão divididos inversamente ao tempo gasto: 10, 15 e 30 min. O prêmio da equipe mais rápida é:

Ver solução

$\frac1{10}+\frac1{15}+\frac1{30}=\frac{1}{5}\Rightarrow k=\frac{1200}{1/5}=6000.$ Rápida (10): $6000/10=600$.
Gabarito: C

5) Direta — 5 : 7 : 4

Divida R$ 320 em partes diretas a $5:7:4$. O valor da segunda parte é:

Ver solução

$5k+7k+4k=320 \Rightarrow 16k=320 \Rightarrow k=20$. Segunda: $7k=140$.
Gabarito: D

6) Inversa — 2 : 5 : 6

Divida R$ 390 em partes inversas a $2:5:6$. A primeira parte é:

Ver solução

$(\tfrac12+\tfrac15+\tfrac16)k=390 \Rightarrow \tfrac{13}{15}k=390 \Rightarrow k=450.$ Primeira: $450/2=225$.
Gabarito: C

7) Direta — cotas 2, 3, 5, 10

R$ 5.400 serão divididos diretamente às cotas $2,3,5,10$. A maior cota recebe:

Ver solução

Soma das cotas = 20. Maior cota = 10 → $5400\times 10/20=2700$.
Gabarito: C

8) Inversa — custos 6k, 9k, 18k

Um bônus de R$ 2.200 será dividido inversamente ao custo (em milhares) $6, 9, 18$. A parte de quem gastou 6k é:

Ver solução

Pesos $1/6,1/9,1/18$ → soma $=1/3$. Parte do 6k: $2200\times (1/6)/(1/3)=2200\times 1/2=1100$.
Gabarito: A

9) Inversa — duas turmas (8 h e 20 h)

R$ 1.050 serão divididos inversamente ao tempo: 8 h e 20 h. A turma mais rápida recebe:

Ver solução

Pesos $1/8,1/20$ → soma $=7/40$. Rápida: $1050\times (1/8)/(7/40) = 1050\times 5/7=750$.
Gabarito: D

10) Direta — notas 6, 7, 8, 9

Prêmio de R$ 2.200 dividido diretamente às notas $6,7,8,9$. A maior nota recebe:

Ver solução

Soma=30. Maior=9 → $2200\times 9/30=660$.
Gabarito: C

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Divisão Proporcional

Divisão Proporcional — Direta e Inversa

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1) Direta — 2 : 3 : 5

2) Inversa — 2 : 3 : 6

3) Direta — investimento (4k, 6k, 10k)

4) Inversa — tempo 10, 15, 30 min

5) Direta — 5 : 7 : 4

6) Inversa — 2 : 5 : 6

7) Direta — cotas 2, 3, 5, 10

8) Inversa — custos 6k, 9k, 18k

9) Inversa — duas turmas (8 h e 20 h)

10) Direta — notas 6, 7, 8, 9

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

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