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Divisão Proporcional

Divisão Proporcional — Direta e Inversa (método da constante k)
Divisão Proporcional — Direta e Inversa

Divisão Proporcional — Direta e Inversa

Explicação simples e prática: escreva as partes com uma única constante k, ajuste pelo total e calcule cada parcela. Sem somatórios!

Quando usar divisão proporcional?

Usamos divisão proporcional para repartir um total de forma justa segundo um critério: pontos, horas, capital investido, tempo gasto, distância, custo etc.

Ideia central: transforme o(s) critério(s) em pesos e reparta o total segundo esses pesos. Em direta, mais peso ⇒ parte maior. Em inversa, mais peso ⇒ parte menor.

Divisão diretamente proporcional

direta

Se as partes são diretas a \(a:b:c\), escreva tudo com uma única constante k e use o total.

\[ x=a\,k,\qquad y=b\,k,\qquad z=c\,k. \] Como \(x+y+z=T\) (total), então \[ k=\frac{T}{a+b+c}. \]
Exemplo (direta): dividir 320 em partes 5 : 7 : 4
\(x=5k,\ y=7k,\ z=4k\).
\(5k+7k+4k=320 \Rightarrow 16k=320 \Rightarrow k=20.\)
Partes: \(x=100,\ y=140,\ z=80\).

Divisão inversamente proporcional

inversa

Se as partes são inversas a \(a:b:c\), use os recíprocos com a mesma k e ajuste pelo total.

\[ x=\frac{k}{a},\qquad y=\frac{k}{b},\qquad z=\frac{k}{c}. \] Como \(x+y+z=T\), então \[ k=\frac{T}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}. \]
Exemplo (inversa): dividir 390 em partes inversas 2 : 5 : 6
\(x=\tfrac{k}{2},\ y=\tfrac{k}{5},\ z=\tfrac{k}{6}\).
\(\left(\tfrac12+\tfrac15+\tfrac16\right)k=390 \Rightarrow \tfrac{13}{15}k=390 \Rightarrow k=450.\)
Partes: \(x=225,\ y=90,\ z=75\).

Aplicações em partilhas, investimentos e prêmios

  • Partilhas e prêmios: por pontuação, cotas, produtividade (direta) ou por tempo gasto/custos (inversa).
  • Investimentos: dividir lucros/prejuízos por capital (direta) ou por capital × tempo (ver Regra de Sociedade).
  • Rateios de despesas: cada pessoa paga segundo um critério (direta) ou inversamente a um fator compensatório (inversa).
Checklist: padronize unidades (horas com horas, pontos com pontos), identifique se é direta ou inversa, escreva as partes com k e ajuste pelo total.

Exercícios (múltipla escolha com solução)

Use o método da constante k. Abra para ver a solução.

1) Direta — 2 : 3 : 5

Divida R$ 600 em partes diretamente proporcionais a \(2:3:5\). Quanto vale a terceira parte?

Ver solução
\(2k+3k+5k=600 \Rightarrow 10k=600 \Rightarrow k=60\). Terceira: \(5k=300\).
Gabarito: C

2) Inversa — 2 : 3 : 6

Divida R$ 360 em partes inversamente proporcionais a \(2:3:6\). Qual é a primeira parte?

Ver solução
\((\tfrac12+\tfrac13+\tfrac16)k=360 \Rightarrow 1\cdot k=360\). Primeira: \(360/2=180\).
Gabarito: D

3) Direta — investimento (4k, 6k, 10k)

Lucro de R$ 5.400 será dividido entre capitais R$ 4.000, R$ 6.000 e R$ 10.000. A parte do maior capital é:

Ver solução
Proporção \(4:6:10\) (soma 20). Maior cota 10 → \(5400\times 10/20=2700\).
Gabarito: B

4) Inversa — tempo 10, 15, 30 min

R$ 1.200 serão divididos inversamente ao tempo gasto: 10, 15 e 30 min. O prêmio da equipe mais rápida é:

Ver solução
\(\frac1{10}+\frac1{15}+\frac1{30}=\frac{1}{5}\Rightarrow k=\frac{1200}{1/5}=6000.\) Rápida (10): \(6000/10=600\).
Gabarito: C

5) Direta — 5 : 7 : 4

Divida R$ 320 em partes diretas a \(5:7:4\). O valor da segunda parte é:

Ver solução
\(5k+7k+4k=320 \Rightarrow 16k=320 \Rightarrow k=20\). Segunda: \(7k=140\).
Gabarito: D

6) Inversa — 2 : 5 : 6

Divida R$ 390 em partes inversas a \(2:5:6\). A primeira parte é:

Ver solução
\((\tfrac12+\tfrac15+\tfrac16)k=390 \Rightarrow \tfrac{13}{15}k=390 \Rightarrow k=450.\) Primeira: \(450/2=225\).
Gabarito: C

7) Direta — cotas 2, 3, 5, 10

R$ 5.400 serão divididos diretamente às cotas \(2,3,5,10\). A maior cota recebe:

Ver solução
Soma das cotas = 20. Maior cota = 10 → \(5400\times 10/20=2700\).
Gabarito: C

8) Inversa — custos 6k, 9k, 18k

Um bônus de R$ 2.200 será dividido inversamente ao custo (em milhares) \(6, 9, 18\). A parte de quem gastou 6k é:

Ver solução
Pesos \(1/6,1/9,1/18\) → soma \(=1/3\). Parte do 6k: \(2200\times (1/6)/(1/3)=2200\times 1/2=1100\).
Gabarito: A

9) Inversa — duas turmas (8 h e 20 h)

R$ 1.050 serão divididos inversamente ao tempo: 8 h e 20 h. A turma mais rápida recebe:

Ver solução
Pesos \(1/8,1/20\) → soma \(=7/40\). Rápida: \(1050\times (1/8)/(7/40) = 1050\times 5/7=750\).
Gabarito: D

10) Direta — notas 6, 7, 8, 9

Prêmio de R$ 2.200 dividido diretamente às notas \(6,7,8,9\). A maior nota recebe:

Ver solução
Soma=30. Maior=9 → \(2200\times 9/30=660\).
Gabarito: C

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
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