Um barco parte de A para atravessar um rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de \( 120^\circ \) com a margem do rio, conforme a figura. Sendo a largura do rio \( 60 \, \text{m} \), qual é a distância \( AB \) percorrida pelo barco?

Observando o esquema, percebemos que o ângulo \( \widehat{BAC} \) é de \( 60^\circ \). Assim:

\(\sin 60^\circ = \frac{BC}{AB} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{60}{AB} \Rightarrow AB = 40 \sqrt{3} \, \text{m} \)

Dessa forma, a distância percorrida pelo barco é \( 40 \sqrt{3} \, \text{m} \).

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Uma escada, que mede \( 2,20 \, \text{m} \) de comprimento, acha-se apoiada em uma parede vertical e forma um ângulo de \( 60^\circ \) com o plano horizontal. Determine a que altura o topo da escada se encontra do chão. Adote \( \sqrt{3} = 1,73 \).

Usando o triângulo formado pela escada, podemos escrever:

\(\sin 60^\circ = \frac{h}{2,2} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{2,2} \Rightarrow h = 2,2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Substituindo \( \sqrt{3} = 1,73 \), temos:

\( h = 2,2 \cdot \frac{1,73}{2} = 1,903 \, \text{m} \)

Portanto, o topo da escada está a \( 1,903 \, \text{m} \) de altura do chão.

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Uma torre vertical de \( 12 \, \text{m} \) de altura é vista sob um ângulo de \( 30^\circ \) por uma pessoa que se encontra a uma distância \( x \) do centro de sua base. O plano da base da torre está no nível dos olhos do observador. Determine a distância \( x \). Adote \( \tan 30^\circ = 0,58 \).

(UFG-GO) Para dar sustentação a um poste telefônico, utilizou-se um outro poste com \( 8 \, \text{m} \) de comprimento, fixado ao solo a \( 4 \, \text{m} \) de distância do poste telefônico, inclinado sob um ângulo de \( 60^\circ \), conforme a figura abaixo.

Considerando-se que foram utilizados \( 10 \, \text{m} \) de cabo para ligar os dois postes, determine a altura do poste telefônico em relação ao solo.

Segundo o enunciado, temos: \( BA = 8 \, \text{m} \), \( DA = 4 \, \text{m} \) e \( BC = 10 \, \text{m} \).

Considerando-se \( DE = BF = y \) e \( BE = x + 4 \), podemos resolver da seguinte forma:

\(\sin 60^\circ = \frac{y}{8} \Rightarrow y = 8 \cdot \sin 60^\circ \Rightarrow y = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\)

\(\cos 60^\circ = \frac{x}{8} \Rightarrow x = 8 \cdot \cos 60^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\)

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo \( CEB \):

\( (BC)^2 = (CE)^2 + (BE)^2 \Rightarrow 10^2 = (CE)^2 + 8^2 \Rightarrow CE = 6 \)

Assim, a altura do poste é:

\( CD = CE + DE = 6 + 4\sqrt{3} \, \text{m} \)

Portanto, a altura do poste telefônico em relação ao solo é \( 6 + 4\sqrt{3} \, \text{m} \).

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No triângulo \( ABC \) a seguir, \( CH \) é a altura relativa ao lado \( AB \).

Determine:
a) a medida de \( CH \). Adote \( \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
b) a medida do ângulo \( \widehat{BAC} \).

(IFSC) A ilustração a seguir representa a planta das ruas de uma cidade. A rua representada pelo segmento \( BC \) tem 50 m de comprimento.
Um dos engenheiros do projeto de pavimentação dessas ruas esqueceu de indicar algumas distâncias. Considerando que um de seus técnicos efetuou os cálculos, é CORRETO afirmar que o total de metros da rua que vai do ponto \( A \) até o ponto \( D \) é de:

a) \( 50 \sqrt{3} \, \text{m} \)

b) \( 150 \sqrt{3} \, \text{m} \)

c) \( 50 \, \text{m} \)

d) \( 100 \, \text{m} \)

e) \( 100 \sqrt{3} \, \text{m} \)

(Fuvest-SP) No quadrilátero \( ABCD \) da figura abaixo, \( E \) é um ponto sobre o lado \( AD \) tal que o ângulo \( \widehat{A \hat{B} E} \) mede \( 60^\circ \) e os ângulos \( \widehat{E \hat{B} C} \) e \( \widehat{B \hat{C} D} \) são retos. Sabe-se ainda que \( AB = CD = \sqrt{3} \, \text{m} \) e \( BC = 1 \, \text{m} \). Determine a medida de \( AD \).

Utilizando o segmento auxiliar \( BD \), divide-se o quadrilátero nos triângulos \( DCB \) e \( ABD \).

1) Triângulo \( DCB \):

(BD)^2 = (BC)^2 + (CD)^2 \Rightarrow BD = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2

Como \( \sin \alpha = \frac{DC}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), temos \( \alpha = 60^\circ \) e, portanto, \( \beta = 30^\circ \).

2) Triângulo \( ABD \):

(AD)^2 = (AB)^2 + (BD)^2 \Rightarrow (AD)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 = 3 + 4 = 7 \Rightarrow AD = \sqrt{7}

Portanto, a medida de \( AD \) é \( \sqrt{7} \, \text{m} \).

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(UFV-MG) Um passageiro em um avião avista duas cidades, \( A \) e \( B \), sob ângulos de \( 15^\circ \) e \( 30^\circ \), respectivamente, conforme a figura a seguir.
Se o avião está a uma altitude de \( 3 \, \text{km} \), a distância entre as cidades \( A \) e \( B \) é:

a) 7 km.

b) 5,5 km.

c) 5 km.

d) 6,5 km.

e) 6 km.

Observando o esquema, nota-se que os ângulos \( \widehat{A \hat{D} B} \) e \( \widehat{D \hat{A} B} \) medem \( 15^\circ \). Assim, o triângulo \( DAB \) é isósceles, e a distância entre as cidades \( A \) e \( B \) é igual a \( BD \).

Para encontrar \( BD \), temos:

\(\cos 60^\circ = \frac{DC}{BD} \Rightarrow BD = \frac{3}{\cos 60^\circ} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6 \, \text{km}\)

Portanto, a distância entre as cidades \( A \) e \( B \) é 6 km (alternativa e).

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A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de \( 30^\circ \). Caminhando 24 m em direção ao prédio, atinge-se outro ponto, de onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de \( 60^\circ \).

Desprezando a altura do observador, calcule, em metro, a altura do prédio.

Seja \( h \) a altura do prédio e \( x \) a distância do ponto mais próximo ao prédio. Temos os seguintes sistemas de equações:

\(\tan 60^\circ = \frac{h}{x} \Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}} \quad (I)\)

\(\tan 30^\circ = \frac{h}{x + 24} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x + 24 = h \sqrt{3} \quad (II)\)

Substituindo \( x \) da equação (I) na (II):

\(\frac{h}{\sqrt{3}} + 24 = h \sqrt{3} \Rightarrow h \sqrt{3} – \frac{h}{\sqrt{3}} = 24 \Rightarrow h = 12 \sqrt{3} \, \text{m} \)

Portanto, a altura do prédio é \( 12 \sqrt{3} \, \text{m} \).

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(UECE) As medidas dos ângulos internos de um triângulo são respectivamente \( 30^\circ, 60^\circ \) e \( 90^\circ \). Se a medida do maior lado deste triângulo é \( 4 \, \text{cm} \), então, a medida em cm da altura relativa a este lado é:

a) \( \sqrt{2} \)

b) \( \sqrt{6} \)

c) \( \sqrt{3} \)

d) \( \sqrt{5} \)

Seja \( h \) a altura procurada. De acordo com o triângulo, temos:

\(\tan 60^\circ = \frac{h}{AD} \Rightarrow h = AD \cdot \sqrt{3} \quad (I)\)

\(\tan 30^\circ = \frac{h}{DC} \Rightarrow h = DC \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \quad (II)\)

De (I) e (II), obtemos:

\( DC \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = AD \cdot \sqrt{3} \Rightarrow DC = 3AD \)

Sabendo que \( AD + DC = AC = 4 \), temos:

\( AD + 3AD = 4 \Rightarrow 4AD = 4 \Rightarrow AD = 1 \)

Substituindo \( AD \) em (I):

\( h = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \, \text{cm} \)

Resposta correta: alternativa c.

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(Unicamp-SP) Para medir a largura \( AC \) de um rio, um homem utilizou o seguinte procedimento: localizou um ponto \( B \) de onde podia ver na margem oposta o coqueiro \( C \), de forma que o ângulo \( \widehat{A \hat{B} C} \) fosse \( 60^\circ \); determinou o ponto \( D \) no prolongamento de \( CA \), de forma que o ângulo \( \widehat{C \hat{B} D} \) fosse \( 90^\circ \). Medindo \( AD = 40 \, \text{m} \), ache a largura do rio \( AC \).

No triângulo \( BAD \), aplicando a tangente de \( 30^\circ \):

\(\tan 30^\circ = \frac{AD}{AB} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{40}{AB} \Rightarrow AB = 40 \sqrt{3} \, \text{m}\)

Para encontrar a largura do rio \( AC \), que é cateto do triângulo \( BAC \), usamos:

\(\tan 60^\circ = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{AC}{40 \sqrt{3}} \Rightarrow AC = 40 (\sqrt{3})^2 = 120 \, \text{m} \)

Portanto, a largura do rio é \( 120 \, \text{m} \).

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(UECE) José caminhou na praia em linha reta deslocando-se do ponto \( X \) ao ponto \( Y \), percorrendo um total de \( 1200 \, \text{m} \). No ponto \( X \), observou um navio ancorado no ponto \( Z \), de tal forma que o ângulo \( \widehat{Y \hat{X} Z} \) era aproximadamente \( 60^\circ \). Ao chegar ao ponto \( Y \), verificou que o ângulo \( \widehat{X \hat{Y} Z} \) era de \( 45^\circ \). Nessas condições, a distância do navio à praia, em metros, é aproximadamente:

a) 720.

b) 760.

c) 780.

d) 740.

Nota: Considere \( \tan 60^\circ \approx \frac{19}{11} \).

Seja \( d \) a distância entre o navio e a praia. No triângulo \( XZD \):

\(\tan 60^\circ = \frac{d}{XD} = \frac{19}{11} \Rightarrow d = \frac{19}{11} XD \quad (I)\)

No triângulo \( YZD \), com ângulo de \( 45^\circ \):

\(\tan 45^\circ = \frac{d}{DY} \Rightarrow d = DY \quad (II)\)

Sabemos que \( XD + DY = XY = 1200 \). De (I) e (II):

\( XD + \frac{19}{11} XD = 1200 \Rightarrow XD \cdot \frac{30}{11} = 1200 \Rightarrow XD = \frac{1200 \cdot 11}{30} = 440 \)

Substituindo \( XD \) em (I):

\( d = \frac{19}{11} \cdot 440 = 760 \, \text{m} \)

Portanto, a distância do navio à praia é 760 m (alternativa b).

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