Regra do Produto e a Regra do Tombo
Vimos anteriormente que se uma função é diferenciável, ela é contínua. A recíproca, no entanto, não é verdadeira. Isso nos fornece um critério útil: se uma função não é contínua em um ponto, ela não pode ser diferenciável nesse ponto. Funções com “saltos” ou descontinuidades não podem ter derivada no ponto de descontinuidade.
Aplicação da Regra do Produto
A regra do produto, ou regra de Leibniz, é uma das ferramentas mais importantes no cálculo. Ela afirma que se \( f \) e \( g \) são diferenciáveis, então:
Exemplo simples
Considere \( f(x) = x \cdot x = x^2 \). Aplicando a regra do produto:
\[ f'(x) = x \cdot 1 + x \cdot 1 = 2x. \]Portanto, \( f'(x_0) = 2x_0 \) para qualquer \( x_0 \in \mathbb{R} \).
A Regra do Tombo
A chamada regra do tombo nos permite derivar funções potência:
Por exemplo:
- Se \( n = 2 \), temos \((x^2)’ = 2x\).
- Se \( n = 3 \), temos \((x^3)’ = 3x^2\).
Essa regra, combinada com a soma e o produto por constantes, permite derivar qualquer polinômio.
Exemplo com polinômios
Considere o polinômio:
\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0. \]A derivada é:
\[ P'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \cdots + a_1. \]Prova por Indução da Regra do Tombo
Para demonstrar a fórmula \((x^n)’ = n x^{n-1}\), podemos usar indução matemática:
- Base da indução: Para \( n = 1 \), \((x)’ = 1\), o que satisfaz a regra.
- Passo indutivo: Suponha que \((x^{k})’ = k x^{k-1}\) seja verdadeiro. Então, para \( x^{k+1} = x \cdot x^{k} \), temos: \[ (x^{k+1})’ = (x \cdot x^{k})’ = 1 \cdot x^{k} + x \cdot (x^{k})’ = x^{k} + x \cdot k x^{k-1} = (k+1)x^{k}. \]
Prova com o Binômio de Newton
Outra forma de demonstrar \((x^n)’ = n x^{n-1}\) é usando a definição de derivada com um incremento \(h\):
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^n – x^n}{h}. \]Aplicando o Binômio de Newton:
\[ (x + h)^n = x^n + \binom{n}{1} x^{n-1} h + \binom{n}{2} x^{n-2} h^2 + \cdots + h^n. \]Cancelando \(x^n\) e dividindo por \(h\), os termos com \(h\) vão a zero no limite, restando apenas:
\[ f'(x) = n x^{n-1}. \]Exercícios Propostos
- Calcule \(\frac{d}{dx}(x^5 + 2x^3 – x + 7).\)
- Mostre, usando a regra do produto, que \((x^2 \cdot \ln x)’ = 2x \ln x + x.\)
- Verifique, pelo Binômio de Newton, a derivada de \(x^3\).
Com a regra do produto e a regra do tombo, formamos a base para derivar polinômios e diversas funções compostas, simplificando os cálculos e evitando o uso direto da definição de derivada.
Estudo da Derivada: Continuidade e Funções Definidas por Partes
Antes de começarmos a trabalhar com as regras de derivação, é importante consolidar o entendimento sobre a existência da derivada em pontos específicos de uma função. Um dos exemplos clássicos é quando temos uma função definida por partes, ou quando ocorre uma mudança brusca no comportamento da função.
Exemplo: Função Definida em Duas Partes
Vamos considerar a função \( f(x) \) definida da seguinte forma:
\( f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \ge 0 \\ 1 – 2x, & x < 0 \end{cases} \)
O objetivo é verificar se \( f(x) \) é diferenciável em \( x = 0 \). Para isso, analisamos os limites laterais da derivada:
\( f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \)
Calculando os limites laterais:
- Lado direito: Para \( x > 0 \), \( f(x) = x + 1 \). Temos:
\( \lim_{x \to 0^{+}} \frac{(x+1) – 1}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x} = 1. \) - Lado esquerdo: Para \( x < 0 \), \( f(x) = 1 - 2x \). Assim:
\( \lim_{x \to 0^{-}} \frac{(1-2x) – 1}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{-2x}{x} = -2. \)
Como os limites laterais são diferentes (\(1 \neq -2\)), a derivada não existe em \( x = 0 \). Portanto, \( f \) é contínua em \( x = 0 \), mas não é diferenciável neste ponto.
Função Derivada
Para os demais pontos, temos:
\( f'(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -2, & x < 0 \end{cases} \)
Primeira Regra de Derivação
A primeira regra estudada é a multiplicação de uma função por uma constante:
Se \( g(x) = c \cdot f(x) \), então \( g'(x) = c \cdot f'(x) \).
Exemplo
Se \( f(x) = x \), então \( g(x) = 3x \). Logo, \( g'(x) = 3 \cdot 1 = 3 \).
Regras de Soma e Produto
Para duas funções \( f(x) \) e \( g(x) \):
- Soma: \( (f + g)’ = f’ + g’ \).
- Produto: \( (fg)’ = f’g + fg’ \).
Exemplo com Produto
Se \( f(x) = x \) e \( g(x) = x^2 \), então:
\( (x \cdot x^2)’ = (x)’ \cdot x^2 + x \cdot (x^2)’ = 1 \cdot x^2 + x \cdot 2x = 3x^2. \)
Fórmula Geral da Potência
Para qualquer \( n \in \mathbb{N} \), vale:
\( \frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1}. \)
Essa fórmula pode ser provada por indução ou diretamente usando as regras de produto.
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