A Combinação com Repetição é um tema importante da Análise Combinatória e aparece quando escolhemos elementos de um conjunto permitindo que um mesmo elemento seja escolhido mais de uma vez, sem se preocupar com a ordem.
Em provas, esse tipo de problema costuma aparecer em situações de escolha de objetos iguais, sabores repetidos, bolas idênticas ou produtos do mesmo tipo.
O que é Combinação com Repetição?
Dizemos que ocorre uma combinação com repetição quando:
- existem n tipos de elementos;
- escolhemos p elementos;
- a repetição é permitida;
- a ordem não importa.
Diferentemente da combinação simples, aqui o mesmo elemento pode aparecer várias vezes na escolha.
Significado dos parâmetros
- n: número de tipos de elementos;
- p: quantidade de elementos escolhidos;
- !: operador fatorial.
Quando usar Combinação com Repetição?
Use este modelo quando:
- a ordem não altera o resultado;
- os elementos podem se repetir;
- o problema envolve escolha de quantidades.
Se a ordem importar, o correto será usar arranjo com repetição. Se não houver repetição, pode ser arranjo simples ou permutação simples.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: De quantas formas podemos escolher 3 bolas dentre 5 cores diferentes, permitindo repetição?
Ver solução
Temos \(n=5\) e \(p=3\). Logo:
\[ CR_{5,3}=\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!\,4!}=35 \]Resposta: \(\boxed{35}\).
Exemplo 2: Quantas combinações de 4 frutas podem ser feitas a partir de 6 tipos, com repetição?
Ver solução
Resposta: \(\boxed{126}\).
Exercícios resolvidos
Exercício 1
Quantas soluções naturais possui a equação \(x+y+z=5\)?
Ver solução
Esse é um clássico problema de combinação com repetição, onde: \(n=3\) e \(p=5\).
\[ CR_{3,5}=\binom{7}{5}=21 \]Resposta: \(\boxed{21}\).
Exercício 2
Quantas maneiras diferentes existem de escolher 10 balas entre 4 sabores?
Ver solução
Resposta: \(\boxed{286}\).
Exercício 3
De quantas formas é possível comprar 6 itens de um cardápio com 3 opções, permitindo repetição?
Ver solução
Resposta: \(\boxed{28}\).
Conexões importantes
A combinação com repetição está diretamente ligada ao número binomial e ao Triângulo de Pascal, que ajudam a visualizar e interpretar essas contagens.
Para dominar Análise Combinatória, a sequência ideal é: PFC → Fatorial → Arranjos → Permutações → Combinações (simples e com repetição).
Combinação com Repetição no ENEM e concursos
No ENEM, esse conteúdo aparece em problemas de contagem de possibilidades, principalmente envolvendo soluções de equações, distribuição de objetos e escolha de quantidades.
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