CUNHA ESFÉRICA – Geometria Espacial
Área do Fuso e Volume (com exemplos e exercícios)
O que é uma cunha esférica?
A cunha esférica (também chamada de setor esférico) é a porção de uma esfera delimitada por dois semiplanos que passam pelo centro, formando um ângulo diedro \(\alpha\). A interseção com a superfície esférica gera um fuso esférico.
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📘 Fórmulas (com \(\alpha\) em radianos)
Observação: essas expressões vêm da proporção pelo ângulo sólido \(\Omega=2\alpha\): \(\dfrac{A_{\text{fuso}}}{4\pi r^2}=\dfrac{\Omega}{4\pi}\) e \(\dfrac{V_{\text{cunha}}}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\dfrac{\Omega}{4\pi}\).
🧭 Se preferir \(\alpha\) em graus
Exemplo 1 (dados \(r\) e \(\alpha\) em graus)
Numa esfera de raio \( r=6\,\text{cm} \), considere \(\alpha=45^\circ\). Calcule \(A_{\text{fuso}}\) e \(V_{\text{cunha}}\).
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Exemplo 2 (descobrindo \(\alpha\) pelo volume – rad). Uma cunha em esfera de raio \( r=5\,\text{cm} \) tem volume \( V= \, \mathbf{50}\pi\,\text{cm}^3 \). Encontre \(\alpha\) em radianos.
Exemplo 3 (descobrindo \(\alpha\) pela área do fuso – graus). Em uma esfera de raio \( r=7\,\text{cm} \), o fuso mede \( A_{\text{fuso}}= \mathbf{49}\pi\,\text{cm}^2 \). Determine \(\alpha\) em graus.
Exercícios de Múltipla Escolha
1. (Área do fuso – rad) Numa esfera de raio \( r=4\,\text{cm} \), a cunha tem \(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\). A área do fuso é:
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Gabarito: B.
2. (Volume – graus) Para uma esfera de raio \( r=9\,\text{cm} \) e \(\alpha=30^\circ\), o volume da cunha é:
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Gabarito: C.
3. (Encontrando \(\alpha\) – rad) Uma cunha em esfera de raio \( r=3\,\text{cm} \) tem volume \( V= 6\pi\,\text{cm}^3 \). Qual é \(\alpha\) (em rad)?
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Gabarito: A.
Conclusão
Para cunha esférica (setor esférico), memorize: \(A_{\text{fuso}}=2r^{2}\alpha\) e \(V_{\text{cunha}}=\dfrac{2\alpha}{3}r^{3}\) (com \(\alpha\) em rad). Em graus, substitua \(\alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\text{graus}}\pi/180\). Essas relações aparecem muito em problemas de Geometria Espacial e no ENEM.
