Guia prático
Descontos Simples
Conceitos, fórmulas do desconto comercial (por fora) e do desconto racional (por dentro), conversões, exemplos passo a passo e exercícios com gabarito.
Recomenda-se revisar: Juros simples, equivalência de taxas, juros compostos e inflação e taxa real.
Resumo rápido (TL;DR)
Ideia central (antecipação de títulos)
Em descontos simples, o abatimento \(D\) cresce proporcionalmente ao tempo (modelo linear).
Existem dois modelos principais:
- Comercial (por fora): desconto calculado sobre o valor nominal \(N\).
- Racional (por dentro): primeiro traz o título ao valor atual \(V\) por juros simples; o desconto é a diferença para \(N\).
Na prática, descontos aparecem em fluxo de caixa,
análise de prazos em avaliação de investimentos e
renegociações ligadas a sistemas de amortização e
séries de pagamentos.
O que é desconto simples?
Vocabulário
- \(N\): valor nominal (de face) a receber no vencimento.
- \(V\): valor atual (líquido) obtido na antecipação.
- \(D\): desconto — o abatimento: \(D=N-V\).
- \(n\): número de períodos de antecipação (meses/anos).
- \(d\): taxa de desconto simples por período (comercial, “por fora”).
- \(i\): taxa de juros simples por período (racional, “por dentro”).
Tipos de desconto simples
Desconto simples comercial (por fora)
O abatimento é calculado sobre \(N\). É o padrão “bancário”.
Tende a gerar desconto maior que o racional para a mesma taxa e prazo.
Desconto simples racional (por dentro)
Atualiza-se o título por juros simples até o presente; o desconto é a diferença para \(N\).
Reflete melhor a ideia de valor do dinheiro no tempo; costuma dar desconto menor.
Fórmulas essenciais
Comercial (por fora)
\[
\boxed{D_c = N\cdot d\cdot n}
\qquad
\boxed{V_c = N – D_c = N(1 – d\,n)}
\]
- \(d\) em decimal: \(2{,}4\%\Rightarrow 0{,}024\).
- Se \(V\) é conhecido: \(d=\dfrac{N – V}{N\,n}\).
Racional (por dentro)
\[
\boxed{V_r = \dfrac{N}{1 + i\,n}}
\qquad
\boxed{D_r = N – V_r = \dfrac{N\,i\,n}{1+i\,n}}
\]
- \(i\) em decimal: \(3\%\Rightarrow 0{,}03\).
- Isolando: \(i=\dfrac{N/V-1}{n}\), \(\ n=\dfrac{N/V-1}{i}\), \(\ N=V(1+i\,n)\).
Relação entre \(d\) (comercial) e \(i\) (racional)
Para obter o mesmo valor atual \(V\) no mesmo prazo \(n\):
\[
V_c=V_r \Rightarrow N(1-d\,n)=\frac{N}{1+i\,n}
\ \Longrightarrow\
\boxed{d=\frac{i}{1+i\,n}}
\]
Note que, no regime simples, a “equivalência” depende de \(n\).
Para comparar periodicidades e taxas, veja
equivalência de taxas.
Conversões de taxa e tempo (simples)
Compatibilize unidade de tempo
Regra: período da taxa = período do tempo. Se a taxa é a.m., use \(n\) em meses; se a.a., use \(n\) em anos.
- Meses ↔ Anos (proporcional no simples) \[ i_{a.a.}=12\,i_{a.m.},\qquad i_{a.m.}=\dfrac{i_{a.a.}}{12} \] (mesma ideia para \(d\)). Exemplos: \(2\%\ a.m.\Rightarrow 24\%\ a.a.\); \(18\%\ a.a.\Rightarrow 1{,}5\%\ a.m.\).
- Dias (convenção 30/360) \[ n=\frac{\text{dias}}{30}\ \text{(meses)}\qquad\text{ou}\qquad n=\frac{\text{dias}}{360}\ \text{(anos)} \] Exemplos: \(45\ \text{dias}\Rightarrow n=1{,}5\ \text{mês}\); \(120\ \text{dias}\Rightarrow n=0{,}333\overline{3}\ \text{ano}\).
- Checklist \[ \text{1) taxa em decimal}\ \to\ \text{2) ajustar período}\ \to\ \text{3) aplicar a fórmula (comercial ou racional).} \]
Precisa decidir entre antecipar com desconto ou aplicar com juros?
Compare com juros compostos e avalie o impacto no
fluxo de caixa.
Exemplos passo a passo
-
E1. Uma empresa antecipa uma duplicata de \(N=\RS\,5{.}000\) que vence em \(3\) meses. O banco pratica desconto simples comercial de \(d=4\%\) a.m. Qual o desconto e o valor líquido recebido?
Ver solução
- \(D_c=N\,d\,n=5000\cdot0{,}04\cdot3=600\).
- \(V_c=N-D_c=5000-600=4400\).
Esse tipo de operação afeta o fluxo de caixa da empresa. -
E2. Um título de \(N=\RS\,8{.}000\) é antecipado \(2\) meses com desconto racional a \(i=3\%\) a.m. Qual o valor atual e o desconto?
Ver solução
- \(V_r=\dfrac{N}{1+i\,n}=\dfrac{8000}{1+0{,}03\cdot2}=\dfrac{8000}{1{,}06}\approx 7547{,}17\).
- \(D_r=N-V_r\approx 8000-7547{,}17\approx 452{,}83\).
A noção de “valor presente” liga-se a avaliação de investimentos. -
E3. Em uma negociação com desconto comercial, sabe-se que \(N=\RS\,12{.}000\), \(V=\RS\,10{.}800\) e \(n=2\) meses. Qual a taxa de desconto a.m.?
Ver solução
- \(V=N(1-d\,n)\Rightarrow \dfrac{V}{N}=1-d\,n\Rightarrow d=\dfrac{1-\tfrac{V}{N}}{n}\).
- \(d=\dfrac{1-10800/12000}{2}=\dfrac{0{,}1}{2}=0{,}05=5\%\ \text{a.m.}\)
Para comparar periodicidades, veja equivalência de taxas. -
E4. Você quer saber a taxa comercial equivalente a \(i=2\%\) a.m. (racional) para \(n=45\) dias (30/360). Qual é \(d\)?
Ver solução
- Tempo: \(n=\tfrac{45}{30}=1{,}5\ \text{mês}\).
- Equivalência: \(d=\dfrac{i}{1+i\,n}=\dfrac{0{,}02}{1+0{,}02\cdot1{,}5}=\dfrac{0{,}02}{1{,}03}\approx 0{,}01942=1{,}942\%\ \text{a.m.}\)
Sobre comparações de taxas, confira equivalência de taxas. -
E5. Mostre numericamente que, com a mesma taxa nominal e prazo, o desconto comercial é maior que o racional.
Ver solução
Exemplo: \(N=\RS\,10{.}000\), taxa \(2\%\) a.m., \(n=3\) meses.- Comercial: \(V_c=N(1-d\,n)=10000(1-0{,}02\cdot3)=\RS\,9{.}400\Rightarrow D_c=\RS\,600\).
- Racional: \(V_r=\dfrac{N}{1+i\,n}=\dfrac{10000}{1+0{,}02\cdot3}=\dfrac{10000}{1{,}06}\approx \RS\,9{.}433{,}96\Rightarrow D_r\approx \RS\,566{,}04\).
- Logo \(D_c>D_r\).
Para capitalização exponencial, contraste com juros compostos.
Erros comuns (e como evitar)
- Tempo incompatível: taxa a.m. com \(n\) em anos. Converta antes (veja equivalência de taxas).
- Usar % sem converter: lembre-se de passar a decimal: \(4\%\Rightarrow 0{,}04\).
- Confundir modelos: comercial usa \(N\) na base; racional parte de \(V=\dfrac{N}{1+i\,n}\).
- Ignorar 30/360: em dias, adote \(n=\tfrac{\text{dias}}{30}\) (meses) salvo outra instrução.
🧠 Exercícios propostos
Resolva e depois confira o gabarito. Consulte quando necessário: juros simples, equivalência de taxas e fluxo de caixa.
- (Comercial) Uma nota promissória de \(N=\RS\,3{.}500\) é descontada a \(d=2{,}4\%\) a.m. faltando \(4\) meses. Calcule \(D\) e \(V\).
- (Racional) Um título de \(N=\RS\,2{.}500\) é antecipado por \(6\) meses a \(i=3\%\) a.m. Determine \(V\) e \(D\).
- (Comercial) Para \(N=\RS\,7{.}800\), \(V=\RS\,7{.}266\) e \(n=3\) meses, encontre \(d\) a.m.
- (Racional) Para \(N=\RS\,6{.}400\), \(V=\RS\,5{.}925\) e \(n=2\) meses, determine \(i\) a.m.
- (Comercial em dias) \(N=\RS\,4{.}200\), \(d=1{,}5\%\) a.m., \(n=50\) dias (30/360). Ache \(D\) e \(V\).
- (Racional em dias) \(N=\RS\,10{.}000\), \(i=2{,}2\%\) a.m., \(n=75\) dias (30/360). Calcule \(V\) e \(D\).
- (Equivalência) Para \(i=2{,}5\%\) a.m. e \(n=3\) meses, calcule o \(d\) comercial equivalente e verifique que \(V_c=V_r\) para \(N=\RS\,6{.}000\).
- (Comercial) Sabendo \(D=\RS\,420\), \(d=2{,}5\%\) a.m. e \(n=4\) meses, determine \(N\) e \(V\).
- (Racional) Com \(N=\RS\,3{.}000\), \(V=\RS\,2{.}700\) e \(i=3\%\) a.m., encontre \(n\) (meses e dias, base 30/360).
- (Comparação) Para \(N=\RS\,5{.}000\), \(n=5\) meses e \(i=d=2\%\) a.m., compare \(D_c\) e \(D_r\).
- (Comercial) \(N=\RS\,2{.}500\), \(d=1{,}8\%\) a.m., desconto \(D=\RS\,135\). Ache \(n\) (em dias, 30/360).
- (Racional) Em qual prazo \(n\) (meses) temos \(V=0{,}90\,N\) com \(i=1{,}5\%\) a.m.?
Para parcelamentos com pagamento ao longo do tempo, estude
séries de pagamentos e
amortização.
📘 Gabarito (clique para ver)
Ver gabarito
- (1) \[ D=N\,d\,n=3500\cdot0{,}024\cdot4=336,\quad V=N-D=3500-336=3164. \]
- (2) \[ V=\frac{2500}{1+0{,}03\cdot6}=\frac{2500}{1{,}18}\approx 2118{,}64,\quad D=N-V\approx 381{,}36. \]
- (3) \[ \frac{V}{N}= \frac{7266}{7800}\approx 0{,}931538 \Rightarrow 1-\frac{V}{N}\approx 0{,}068462,\quad d=\frac{1-\tfrac{V}{N}}{n}\approx \frac{0{,}068462}{3}\approx 0{,}0228205 \Rightarrow \boxed{2{,}2821\%\ \text{a.m.}} \]
- (4) \[ V=\frac{N}{1+i\,n}\Rightarrow 5925=\frac{6400}{1+2i} \Rightarrow 1+2i=\frac{6400}{5925}\approx 1{,}080169 \Rightarrow i\approx 0{,}040084\Rightarrow \boxed{4{,}0084\%\ \text{a.m.}} \] (5) \(n=\tfrac{50}{30}=1{,}666\overline{6}\ \text{mês}\). \[ D=4200\cdot0{,}015\cdot1{,}666\overline{6}=105,\quad V=4200-105=4095. \]
- (6) \(n=\tfrac{75}{30}=2{,}5\ \text{meses}\). \[ V=\frac{10000}{1+0{,}022\cdot2{,}5}=\frac{10000}{1{,}055}\approx 9478{,}67,\quad D\approx 521{,}33. \]
- (7) \[ d=\frac{i}{1+i\,n}=\frac{0{,}025}{1+0{,}025\cdot3}=\frac{0{,}025}{1{,}075}\approx 0{,}023256\Rightarrow 2{,}3256\%\ \text{a.m.} \] Verificação com \(N=6000\): \[ V_r=\frac{6000}{1{,}075}\approx 5581{,}40,\quad V_c=6000(1-0{,}023256\cdot3)\approx 5581{,}40. \]
- (8) \[ N=\frac{D}{d\,n}=\frac{420}{0{,}025\cdot4}=4200,\quad V=N-D=4200-420=3780. \]
- (9) \[ V=\frac{N}{1+i\,n}\Rightarrow \frac{2700}{3000}=\frac{1}{1+0{,}03\,n} \Rightarrow 1+0{,}03n=\frac{3000}{2700}=1{,}111\overline{1} \Rightarrow n\approx 3{,}7037\ \text{meses}\ (\approx 3\ \text{meses e }21\ \text{dias}). \]
- (10) \[ D_c=N\,d\,n=5000\cdot0{,}02\cdot5=500; \quad D_r=\frac{N\,i\,n}{1+i\,n}=\frac{5000\cdot0{,}02\cdot5}{1{,}1}\approx 454{,}55; \quad D_c>D_r. \]
- (11) \[ n=\frac{D}{N\,d}=\frac{135}{2500\cdot0{,}018}=3\ \text{meses}\ \Rightarrow\ \text{dias}\approx 90\ \text{(30/360)}. \]
- (12) \[ V=0{,}90\,N=\frac{N}{1+i\,n} \Rightarrow 1+i\,n=\frac{1}{0{,}90}=1{,}111\overline{1} \Rightarrow n=\frac{0{,}111\overline{1}}{0{,}015}\approx 7{,}407\ \text{meses}\ (\approx 7\ \text{meses e }12\ \text{dias}). \]
Cálculos conferidos. Em dias, adotamos a convenção comercial 30/360.
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