📘 Dicionário de Matemática — Letra U
Verbete por verbete, com destaque para termo, definição e fórmulas: de união e universo a um-para-um, uniforme, unitário, ultramétrica e u-substituição.
Como usar
Cada verbete traz o termo (chip azul), a definição (faixa verde) e uma fórmula/exemplo (faixa roxa) quando aplicável.
União (\(\cup\))Teoria dos Conjuntos
Conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos.
Propriedades: \(A\cup B=B\cup A\) (comutativa), \((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\) (associativa), \(A\cup\varnothing=A\). De Morgan: \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\).
União Disjunta (\(\uplus\))Conjuntos / Combinatória
União de conjuntos sem interseção, preservando multiplicidades/classe de origem.
Se \(A\cap B=\varnothing\), então \(|A\uplus B|=|A|+|B|\). Para contagem com rótulo de origem, usa-se \(\uplus\).
Universo (Conjunto Universal)Teoria dos Conjuntos
Conjunto de referência que contém todos os elementos considerados em um contexto.
Complemento relativo: \(A^c=U\setminus A\). Leis: \(A\cup A^c=U\), \(A\cap A^c=\varnothing\).
Um-para-Um (Injetora)Funções
Função que não identifica elementos distintos do domínio.
\(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\). Bijetora \(\iff\) injetora e sobrejetora; só então existe inversa \(f^{-1}\).
Uniforme (Contínua)Probabilidade
Distribuição com densidade constante em \([a,b]\).
PDF: \(f(x)=\frac{1}{b-a}\) em \([a,b]\); média \(\mu=\frac{a+b}{2}\), variância \(\sigma^2=\frac{(b-a)^2}{12}\).
Uniforme (Discreta)Probabilidade
Todos os \(n\) valores possíveis têm mesma probabilidade.
PMF: \(\mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{n}\), \(k\in\{1,\dots,n\}\); \(\mathbb{E}[X]=\frac{n+1}{2}\).
Continuidade UniformeAnálise
Mesma \(\delta\) funciona para todos os pontos do domínio.
\(\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:\ |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\) (para todos \(x,y\)). Em intervalos fechados, toda contínua é uniformemente contínua (Heine–Cantor).
Convergência UniformeAnálise
As \(f_n\) aproximam \(f\) uniformemente no domínio.
\(\sup_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|\to0\). Permite trocar limite por integral/derivada sob condições adequadas.
Unidade ImagináriaAnálise Complexa
Símbolo \(i\) tal que \(i^2=-1\); gera o plano complexo.
Forma polar: \(z=re^{i\theta}\); fórmula de Euler \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\).
Unitário (Vetor)Álgebra Linear
Vetor de norma \(1\).
Normalização: \(u=\dfrac{v}{\|v\|}\) para \(v\neq0\); produto escalar \(\langle u,u\rangle=1\).
Unitária (Matriz Unitarista)Álgebra Linear / Complexos
Matriz \(U\) com colunas (e linhas) ortonormais: preserva norma e ângulo em \(\mathbb{C}^n\).
Definição: \(U^\*U=I\) (\(U^\*\) é adjunta). Consequências: \(\|Ux\|=\|x\|\), \(|\det U|=1\).
UnimodalEstatística
Distribuição com um único modo (pico).
Ex.: Normal \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) é unimodal; mistura de duas normais pode ser bimodal.
Unipotente (Matriz/Elemento)Álgebra Linear
Elemento \(A\) tal que \(A-I\) é nilpotente.
Existe \(k\) com \((A-I)^k=0\). Autovalores todos iguais a \(1\).
U-EstatísticaEstatística
Estatística simétrica baseada em médias de um núcleo \(h\) sobre todas as combinações de \(m\) observações.
\(U=\binom{n}{m}^{-1}\sum h(X_{i_1},\dots,X_{i_m})\), soma sobre todas as \(\binom{n}{m}\) \(m\)-tuplas distintas.
UltrafiltroTopologia / Lógica
Filtro maximal: para todo \(A\subseteq X\), exatamente um entre \(A\) e \(A^c\) pertence ao ultrafiltro.
Fechado por superconjuntos e interseções finitas; todo filtro está contido em algum ultrafiltro (via Zorn/AC).
UltramétricaGeometria / Métricas
Métrica que satisfaz desigualdade triangular forte.
\(d(x,z)\le \max\{d(x,y),d(y,z)\}\). Bolas são “aninhadas” e todo triângulo é isósceles (ou degenerado).
Unicidade (Soluções de EDO)Equações Diferenciais
A solução do problema de valor inicial é única sob hipóteses de Lipschitz.
Se \(y’=f(x,y)\) é Lipschitz em \(y\) numa região, então \(\exists!\) solução passando por \((x_0,y_0)\) (Teorema de Picard–Lindelöf).
UMP (Uniformemente Mais Potente)Estatística
Teste com maior poder para todos os valores da alternativa em uma classe de nível \(\alpha\).
Existe UMP em famílias com razão de verossimilhança monotônica; p.ex., teste unilateral para média normal com \(\sigma\) conhecido (Neyman–Pearson).
u-Substituição (Mudança de Variáveis)Cálculo
Transforma a integral definindo \(u=g(x)\) para simplificar a expressão.
\(\displaystyle \int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du\). Em definidas: \(\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,du\).
Unidade (Número 1)Aritmética / Álgebra
Elemento neutro multiplicativo em corpos/aneis; em \(\mathbb{Z}\), as unidades são \(\pm1\).
Em um anel \(R\), \(u\) é unidade se \(\exists v\in R\) com \(uv=vu=1\).
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