Distância de um Ponto a uma Reta — Fórmula, Definição e Exercícios
A distância de um ponto a uma reta é um dos conceitos mais importantes da Geometria Analítica. Ela representa o menor caminho possível entre um ponto e uma reta, medido ao longo de uma linha perpendicular à reta.
📘 O que é a Distância de um Ponto a uma Reta
Quando temos uma reta representada pela equação geral:
e um ponto \( P(x_p, y_p) \) fora dessa reta, a distância entre o ponto e a reta é o comprimento do segmento perpendicular traçado de \( P \) até a reta.
Essa distância é calculada pela fórmula:
Essa expressão fornece um valor sempre positivo, pois utiliza o módulo no numerador.
🧮 Interpretação Geométrica
A distância de um ponto a uma reta é medida ao longo da perpendicular que parte do ponto e toca a reta em apenas um ponto. Isso significa que, entre todos os possíveis segmentos que conectam o ponto à reta, a perpendicular é o menor deles.
Esse conceito é útil em problemas que envolvem posições relativas, como verificar se um ponto está acima, abaixo ou sobre uma reta.
📐 Exemplo 1
Exemplo: Determine a distância do ponto \( P(2, 3) \) à reta \( 2x + y – 5 = 0 \).
\( d = \frac{|2(2) + 1(3) – 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} \)
\( d = \frac{|4 + 3 – 5|}{\sqrt{5}} = \frac{|2|}{\sqrt{5}} \)
\( \Rightarrow d = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0{,}89 \)
📐 Exemplo 2
Exemplo: Calcule a distância entre o ponto \( P(-1, 4) \) e a reta \( 3x – 4y + 5 = 0 \).
\( d = \frac{|3(-1) – 4(4) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \)
\( d = \frac{|-3 – 16 + 5|}{\sqrt{25}} = \frac{|-14|}{5} \)
\( \Rightarrow d = \frac{14}{5} = 2{,}8 \)
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1. Calcule a distância do ponto \( P(1, 2) \) até a reta \( 3x + 4y – 6 = 0 \).
2. Determine a distância do ponto \( P(-2, -1) \) à reta \( 2x – 3y + 6 = 0 \).
3 (Desafio). Qual é a distância do ponto \( P(5, -2) \) à reta \( 4x + 3y – 12 = 0 \)?
