Divisão Inversamente Proporcional
O que é Divisão Inversamente Proporcional?
Queremos repartir um total \(S\) entre partes \(P_1,P_2,\dots,P_n\) inversamente proporcionais a números positivos \(a_1,a_2,\dots,a_n\). Isso significa que quem tem peso maior \(a_i\) recebe menos: \[ P_i \propto \frac{1}{a_i}. \]
Escrevendo \(P_i = k\cdot \dfrac{1}{a_i}\) e usando \(\sum P_i=S\), obtemos: \[ k = \frac{S}{\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{a_j}} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\,P_i=\frac{\dfrac{1}{a_i}}{\sum\limits_{j=1}^{n}\dfrac{1}{a_j}}\cdot S\,}. \]
Dica prática: transforme os pesos em seus recíprocos \(r_i=\dfrac{1}{a_i}\) e faça uma divisão diretamente proporcional pelos \(r_i\).
Quando usar
- Repartir uma tarefa quando o “peso” representa tempo ou custo unitário (quem demora mais recebe menos).
- Distribuir verbas considerando preços por unidade (quanto mais caro por unidade, menor a quantidade comprada).
- Rateios em que a grandeza “oposta” ao recebimento é o critério (ex.: distância × velocidade).
Passo a passo
- Calcule os recíprocos: \(r_i=\dfrac{1}{a_i}\).
- Some: \(\Sigma r = r_1+r_2+\cdots+r_n\).
- Para cada parte: \(P_i = \dfrac{r_i}{\Sigma r}\,S\).
- Cheque: \(\sum P_i=S\) e \(P_i:P_j = \dfrac{1/a_i}{1/a_j} = a_j:a_i\).
Tabela modelo (com recíprocos)
| Participante | Peso \(a_i\) | Recíproco \(r_i=1/a_i\) | Fração | Parte \(P_i\) |
|---|---|---|---|---|
| A | 2 | \(1/2\) | \(\frac{1/2}{\Sigma r}\) | \(\frac{1/2}{\Sigma r}\,S\) |
| B | 3 | \(1/3\) | \(\frac{1/3}{\Sigma r}\) | \(\frac{1/3}{\Sigma r}\,S\) |
| C | 4 | \(1/4\) | \(\frac{1/4}{\Sigma r}\) | \(\frac{1/4}{\Sigma r}\,S\) |
| Soma | \(\Sigma r=1/2+1/3+1/4\) | — | \(S\) | |
Após calcular \(\Sigma r\), as partes são \(\dfrac{r_i}{\Sigma r}\,S\).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Prêmio inverso a 2:3:4
Enunciado: Repartir \(S=\) R$ 13.000 inversamente à razão \(2:3:4\) entre A, B e C.
👀 Ver solução passo a passo
- Recíprocos: \(r_A=1/2,\; r_B=1/3,\; r_C=1/4\).
- Soma: \(\Sigma r = 1/2+1/3+1/4 = 13/12\).
- Fração de A: \((1/2)/(13/12)=6/13\); B: \(4/13\); C: \(3/13\).
- Partes: A \(=(6/13)\cdot 13000=\) R$ 6.000; B \(=(4/13)\cdot 13000=\) R$ 4.000; C \(=(3/13)\cdot 13000=\) R$ 3.000.
Checagem: 6000+4000+3000 = 13000.
Exemplo 2 — Horas de máquina inversas a 1:2:4
Enunciado: Distribuir \(S=70\) horas de uso de uma máquina entre três setores de forma inversa a \(1:2:4\).
👀 Ver solução passo a passo
- Recíprocos: \(r=(1,\;1/2,\;1/4)\). Proporcionalmente é o mesmo que \(4:2:1\).
- Soma dos “novos” pesos: \(4+2+1=7\).
- Partes: \(70\times(4/7)=\) 40 h; \(70\times(2/7)=\) 20 h; \(70\times(1/7)=\) 10 h.
Exemplo 3 — Verba inversa ao preço por unidade
Enunciado: Deseja-se comprar o máximo de kits com R$ 2.100 em três fornecedores com preços unitários de R$ 50, R$ 70 e R$ 140, atribuindo quantidades inversamente proporcionais aos preços. Quanto vai para cada fornecedor?
👀 Ver solução passo a passo
- Peso inverso ao preço: \(r=(1/50,\;1/70,\;1/140)\).
- Usando frações equivalentes: multiplique por 700 → proporção \(=\) \(14:10:5\).
- Soma \(=29\). Frações: \(14/29,\;10/29,\;5/29\).
- Partes do orçamento: \(2100\times(14/29)=\) R$ 1.013,79; \(2100\times(10/29)=\) R$ 724,14; \(2100\times(5/29)=\) R$ 362,07 (aprox.).
- Checagem: 1013,79 + 724,14 + 362,07 = 2.100,00.
Os valores podem ser arredondados conforme a política de compras.
Exercícios propostos
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Exercício 1
Enunciado: Repartir R$ 9.000 inversamente à razão \(2:3\) entre A e B. Quanto recebe B?
Ver solução
- Recíprocos: \(1/2\) e \(1/3\); soma \(=5/6\).
- Fração de B: \((1/3)/(5/6)=2/5\).
- Parte de B: \(9000\times(2/5)=\) R$ 3.600.
Exercício 2
Enunciado: Dividir 1.200 kg de material entre três equipes inversamente a \(1:3:6\). Quanto recebe a equipe com peso 3?
Ver solução
- Recíprocos: \(1,\;1/3,\;1/6\Rightarrow\) equivalentes a \(6:2:1\).
- Soma dos novos pesos: \(6+2+1=9\).
- Equipe “peso 3” corresponde a \(2/9\) do total: \(1200\times(2/9)=\) 266,67 kg (aprox.).
Exercício 3
Enunciado: Distribuir 60 horas de aula inversamente a \(2:5:6:7\) entre quatro turmas. Quanto vai para o grupo de peso 7?
Ver solução
- Recíprocos: \(1/2,1/5,1/6,1/7\).
- \(\Sigma r \approx 0{,}5+0{,}2+0{,}166\overline{6}+0{,}142857 \approx 1{,}009523\).
- Fração para peso 7: \((1/7)/\Sigma r \approx 0{,}142857/1{,}009523 \approx 0{,}1415\).
- Parte: \(60\times 0{,}1415 \approx\) 8,49 h \(\approx 8\) h \(29\) min.
Exercício 4
Enunciado: Um prêmio de R$ 15.000 será repartido inversamente a \(3:4:12\). Quanto recebe quem tem peso 12?
Ver solução
- Recíprocos: \(1/3,1/4,1/12\Rightarrow\) equivalentes a \(4:3:1\) (multiplique por 12).
- Soma: \(4+3+1=8\). Fração do peso 12 \(\to 1/8\).
- Parte: \(15000\times(1/8)=\) R$ 1.875.
Exercício 5
Enunciado: Deseja-se repartir 2.400 m² de área inversamente a \(2:3:4:6\). Determine as quatro partes.
Ver solução
- Recíprocos: \(1/2,1/3,1/4,1/6\Rightarrow\) equivalentes a \(6:4:3:2\) (multiplique por 12).
- Soma: \(6+4+3+2=15\).
- Partes: \(2400\times(6/15)=\) 960 m²; \(2400\times(4/15)=\) 640 m²; \(2400\times(3/15)=\) 480 m²; \(2400\times(2/15)=\) 320 m².
Checagem: 960+640+480+320 = 2400.
Erros comuns (e como evitar)
- Esquecer o recíproco: na divisão inversa as partes são proporcionais a \(1/a_i\), não a \(a_i\).
- Misturar unidades: mantenha R$, horas, m², kg, etc., do início ao fim.
- Arredondar cedo demais: faça a fração primeiro e arredonde só no resultado final.
Conexões úteis
Para firmar a base, veja Razão e Proporção, pratique com a Regra de Três Simples e a Regra de Três Composta. Em cenários de sociedade, confira a Regra de Sociedade. Compare também com a Divisão Diretamente Proporcional e revise Grandezas Inversamente Proporcionais.
Materiais recomendados
Resumo final (para memorização)
- Fórmula: \(P_i=\dfrac{\dfrac{1}{a_i}}{\sum \dfrac{1}{a_j}}\,S\).
- Método rápido: use os recíprocos \(r_i=1/a_i\) e divida diretamente por \(r_i\).
- Checagem: \(\sum P_i=S\) e \(P_i:P_j=a_j:a_i\) (inverso dos pesos originais).
