Construção do Corpo \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \)

Nesta aula, vamos explorar um exemplo especial de corpo que surge ao estender os números racionais com a inclusão da raiz quadrada de 2. Esse corpo, denotado por \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \), é um exemplo clássico de extensão quadrática de um corpo.

Por que \(\sqrt{2}\) não é racional?

O número \( \sqrt{2} \) é famoso por ser irracional. Vamos relembrar a demonstração clássica por absurdo:

• Suponha que \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \), com \( p \) e \( q \) primos entre si.
• Então \( p^2 = 2q^2 \), logo \( p^2 \) é par, o que implica que \( p \) também é par.
• Se \( p = 2k \), substituindo, temos \( (2k)^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2 \), ou seja, \( q \) também é par.
• Isso contradiz o fato de \( p \) e \( q \) serem primos entre si. Portanto, \( \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \).

Definição do Corpo \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \)

Definimos:

Ou seja, \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) é formado por todos os números que podem ser escritos como uma combinação linear de 1 e \( \sqrt{2} \) com coeficientes racionais.

Propriedades de \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \)

As operações de soma e produto são definidas como em \( \mathbb{R} \). Por exemplo:

Essas operações mantêm o conjunto fechado, garantindo que o resultado da soma ou do produto de dois elementos de \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) continua no mesmo conjunto.

Inverso Multiplicativo

Para um elemento \( x = a + b \sqrt{2} \neq 0 \), o inverso multiplicativo em \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) é:

Essa expressão pode ser escrita na forma \( c + d \sqrt{2} \) com \( c, d \in \mathbb{Q} \), provando que o inverso está em \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \).

Subcorpo de \(\mathbb{R}\) e Extensão de \(\mathbb{Q}\)

É claro que:

• \( \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset \mathbb{R} \).
• \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \neq \mathbb{Q} \) porque \( \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \).
• \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \neq \mathbb{R} \), pois números como \( \sqrt{3} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \).

Polinômio Irredutível

O polinômio \( x^2 – 2 \in \mathbb{Q}[x] \) é irredutível sobre \( \mathbb{Q} \), mas em \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) ele fatora como:

Generalização

Podemos generalizar essa construção:

Para qualquer \( d > 0 \) que não seja um quadrado perfeito, \( \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \) é um corpo.

Importância de \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \)

O corpo \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) é fundamental em:

• Resolução de polinômios quadráticos.
• Teoria de Galois e extensões de corpos.
• Problemas geométricos clássicos (como construções com régua e compasso).

Resumo Final

• \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) é o menor corpo que contém \( \mathbb{Q} \) e \( \sqrt{2} \).
• É fechado sob soma, produto e inversos.
• Serve como modelo para extensões quadráticas em álgebra abstrata.

Nas próximas aulas, estudaremos extensões de corpos em geral, explorando como construções como \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) se encaixam em uma teoria mais ampla.