Chamamos de equação exponencial toda equação em que a incógnita aparece no expoente. Duas abordagens resolvem praticamente todos os casos no ensino médio:
- Igualdade de bases: reescrever ambos os lados com a mesma base e igualar expoentes.
- Uso de logaritmos: aplicar log nos dois lados quando a igualdade de bases não é conveniente.
\( \displaystyle a^x=b \quad \Longleftrightarrow \quad x=\log_a b \quad (a>0,\ a\neq1,\ b>0)\)
1) Método da mesma base
Exemplo 1. Resolver \( 2^x=16 \).
\(16=2^4 \Rightarrow 2^x=2^4 \Rightarrow \boxed{x=4}\).
Exemplo 2. Resolver \( 5^{2x-1}=125 \).
\(125=5^3 \Rightarrow 2x-1=3 \Rightarrow x=2\).
2) Método por logaritmos
Exemplo 3. Resolver \( 3^x=7 \).
Aplicando log (qualquer base): \( x\ln3=\ln7 \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{\ln7}{\ln3}} \approx 1{,}7712 \).
3) Exercícios de múltipla escolha
1) \( 4^x=64 \)
- a) \(2\)
- b) \(3\)
- c) \(4\)
- d) \(5\)
Ver solução
\(64=4^3 \Rightarrow x=3\). Alternativa b.
2) \( 5^{x+1}=125 \)
- a) \(1\)
- b) \(2\)
- c) \(3\)
- d) \(4\)
Ver solução
\(125=5^3 \Rightarrow x+1=3 \Rightarrow x=2\). Alternativa b.
3) \( 2^{3x}=32 \)
- a) \( \tfrac{5}{3} \)
- b) \(2\)
- c) \(3\)
- d) \( \tfrac{3}{5} \)
Ver solução
\(32=2^5 \Rightarrow 3x=5 \Rightarrow x=\tfrac{5}{3}\). Alternativa a.
4) \( 7^{2x-3}= \dfrac{1}{49} \)
- a) \(0\)
- b) \(1\)
- c) \(2\)
- d) \(3\)
Ver solução
\(\frac{1}{49}=7^{-2} \Rightarrow 2x-3=-2 \Rightarrow x=\tfrac{1}{2}\). Alternativa a.
5) \( 3^{x}=10 \)
- a) \( x=\log_3 10 \)
- b) \( x=\dfrac{\ln 3}{\ln 10} \)
- c) \( x=\dfrac{\ln 10}{\ln 3} \)
- d) \( x=\log_{10} 3 \)
Ver solução
\(x=\log_3 10=\dfrac{\ln 10}{\ln 3}\). Alternativa c.
