1) Lembrete rápido: fórmulas do cubo

2) Exercícios comentados (passo a passo)

1. Enunciado. Um cubo tem aresta \(a=5\ \text{cm}\). Calcule \(A_t\) e \(A_l\).

   Ver solução

   Solução. \(A_t=6a^2=6\cdot25=150\ \text{cm}^2\).
   \(A_l=4a^2=4\cdot25=100\ \text{cm}^2\).

2. Enunciado. Uma caixa cúbica tem \(a=12\ \text{cm}\). Calcule o volume e converta para litros.

   Ver solução

   Solução. \(V=a^3=12^3=1728\ \text{cm}^3=1{,}728\ \text{L}\) (pois \(1000\ \text{cm}^3=1\ \text{L}\)).

3. Enunciado. Determine a diagonal de um cubo com aresta \(a=7\ \text{cm}\).

   Ver solução

   Solução. \(d=a\sqrt{3}=7\sqrt{3}\ \text{cm}\approx 12{,}12\ \text{cm}\).

4. Enunciado. Uma peça cúbica com \(a=1{,}5\ \text{m}\) será pintada externamente a R\$ 18,50/m². Qual o custo?

   Ver solução

   Solução. \(A_t=6a^2=6\cdot(1{,}5)^2=6\cdot2{,}25=13{,}5\ \text{m}^2\).
   Custo \(=13{,}5\times18{,}50=\mathbf{R\$ 249{,}75}\).

5. Enunciado. Um cubo passa de aresta \(a\) para \(2a\). Como variam \(A_t\) e \(V\)?

   Ver solução

   Solução. \(A_t=6a^2\to 6(2a)^2=24a^2\) → aumenta 4×.
   \(V=a^3\to (2a)^3=8a^3\) → aumenta 8×.

6. Enunciado. Uma caixa cúbica tem aresta externa \(50\ \text{cm}\) e espessura de parede \(1\ \text{cm}\) em cada face. Qual o volume interno?

   Ver solução

   Solução. A aresta interna é \(50-2\cdot1=48\ \text{cm}\).
   \(V_{\text{interno}}=48^3=110\,592\ \text{cm}^3=110{,}592\ \text{L}.\)

7. Enunciado. Um cubo \(5\times5\times5\) é pintado por fora e cortado em 125 cubinhos. Quantos ficam com 3, 2, 1 e 0 faces pintadas?

   Ver solução

   Solução. Cantos (3 faces): \(\mathbf{8}\).
   Arestas sem cantos (2 faces): \(12\cdot(n-2)=12\cdot3=\mathbf{36}\).
   Centros de face (1 face): \(6\cdot(n-2)^2=6\cdot9=\mathbf{54}\).
   Internos (0 face): \((n-2)^3=3^3=\mathbf{27}\).

8. Enunciado. Num cubo, a diagonal vale \(d=10\sqrt{3}\ \text{cm}\). Calcule \(a\), \(A_t\) e \(V\).

   Ver solução

   Solução. \(a=d/\sqrt{3}=10\ \text{cm}\).
   \(A_t=6a^2=6\cdot100=600\ \text{cm}^2\).
   \(V=a^3=1000\ \text{cm}^3=1\ \text{L}\).

9. Enunciado. Em um cubo, a diagonal da face é \(d_f=10\ \text{cm}\). Encontre \(a\), \(d\) e \(V\).

   Ver solução

   Solução. \(a=d_f/\sqrt{2}=10/\sqrt{2}=5\sqrt{2}\ \text{cm}\).
   \(d=a\sqrt{3}=5\sqrt{6}\ \text{cm}\approx 12{,}25\ \text{cm}\).
   \(V=a^3=(5\sqrt{2})^3=125\cdot2\sqrt{2}=250\sqrt{2}\ \text{cm}^3\approx 353{,}55\ \text{cm}^3.\)

10. Enunciado. Um tanque cúbico com \(a=0{,}9\ \text{m}\) enche a \(15\ \text{L/min}\). Em quanto tempo enche?

    Ver solução

    Solução. \(V=0{,}9^3=0{,}729\ \text{m}^3=729\ \text{L}\).
    Tempo \(=729/15=48{,}6\ \text{min}\approx 48\ \text{min}\ 36\ \text{s}.\)

11. Enunciado. Sabe-se \(A_l=432\ \text{cm}^2\). Ache \(a\), \(A_t\) e \(V\).

    Ver solução

    Solução. \(4a^2=432\Rightarrow a^2=108\Rightarrow a=6\sqrt{3}\ \text{cm}\approx 10{,}39\ \text{cm}.\)
    \(A_t=6a^2=6\cdot108=648\ \text{cm}^2.\)
    \(V=a^3=(6\sqrt{3})^3=648\sqrt{3}\ \text{cm}^3\approx \mathbf{1122{,}37}\ \text{cm}^3.\)

12. Enunciado. Um cubo tem \(V=64\,000\ \text{cm}^3\). Determine \(a\) e \(A_t\).

    Ver solução

    Solução. \(a=\sqrt[3]{64\,000}=40\ \text{cm}\).
    \(A_t=6a^2=6\cdot1600=9600\ \text{cm}^2=0{,}96\ \text{m}^2.\)

13. Enunciado. Uma caixa cúbica de \(a=30\ \text{cm}\) será embrulhada. Quanto de papel (em m²) comprar com 5% de sobra?

    Ver solução

    Solução. \(A_t=6a^2=6\cdot900=5400\ \text{cm}^2=0{,}54\ \text{m}^2.\)
    Com 5% de sobra: \(0{,}54\times1{,}05=\mathbf{0{,}567}\ \text{m}^2.\)

14. Enunciado. Para \(a=25\ \text{mm}\), determine \(A_l\) em \(\text{cm}^2\).

    Ver solução

    Solução. \(a=2{,}5\ \text{cm}\Rightarrow A_l=4a^2=4\cdot(2{,}5)^2=4\cdot6{,}25=\mathbf{25}\ \text{cm}^2.\)

3) Questões sobre cubo (múltipla escolha)

1. Em um cubo de aresta \(a\), o volume é:

   • A) \(6a^2\)
   • B) \(4a^2\)
   • C) \(a^3\)
   • D) \(a\sqrt{3}\)
   Ver solução

   Gabarito: C.
   Justificativa: Volume do cubo: \(V=a^3\).

2. Se \(a=6\ \text{cm}\), a diagonal do cubo é:

   • A) \(6\sqrt{2}\)
   • B) \(6\sqrt{3}\)
   • C) \(12\)
   • D) \(3\sqrt{6}\)
   Ver solução

   Gabarito: B.
   Cálculo: \(d=a\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \text{cm}\).

3. Para um cubo de aresta \(a\), a área total vale:

   • A) \(3a^2\)
   • B) \(4a^2\)
   • C) \(5a^2\)
   • D) \(6a^2\)
   Ver solução

   Gabarito: D.
   Justificativa: são 6 faces quadradas: \(A_t=6a^2\).

4. Se \(A_l=4a^2=324\ \text{cm}^2\), então a aresta mede:

   • A) \(9\ \text{cm}\)
   • B) \(18\ \text{cm}\)
   • C) \(27\ \text{cm}\)
   • D) \(36\ \text{cm}\)
   Ver solução

   Gabarito: A.
   Cálculo: \(4a^2=324\Rightarrow a^2=81\Rightarrow a=9\ \text{cm}\).

5. Com \(a=5\ \text{cm}\), a área total \(A_t\) e o volume \(V\) são, respectivamente:

   • A) \(100\ \text{cm}^2\) e \(25\ \text{cm}^3\)
   • B) \(125\ \text{cm}^2\) e \(100\ \text{cm}^3\)
   • C) \(150\ \text{cm}^2\) e \(125\ \text{cm}^3\)
   • D) \(200\ \text{cm}^2\) e \(150\ \text{cm}^3\)
   Ver solução

   Gabarito: C.
   Cálculo: \(A_t=6a^2=6\cdot25=150\ \text{cm}^2\); \(V=a^3=125\ \text{cm}^3\).

6. Se a diagonal da face mede \(8\sqrt{2}\ \text{cm}\), então a aresta \(a\) vale:

   • A) \(8\sqrt{2}\)
   • B) \(8\)
   • C) \(4\sqrt{2}\)
   • D) \(16\)
   Ver solução

   Gabarito: B.
   Cálculo: \(d_f=a\sqrt{2}=8\sqrt{2}\Rightarrow a=8\ \text{cm}\).

7. Ao triplicar a aresta de um cubo, o volume:

   • A) dobra
   • B) triplica
   • C) multiplica por 6
   • D) multiplica por 27
   Ver solução

   Gabarito: D.
   Justificativa: \(V\propto a^3\). Se \(a\to 3a\), então \(V\to 3^3V=27V\).

8. Um cubo pintado externamente é cortado em \(n^3\) cubinhos. Quantos ficam com 3 faces pintadas?

   • A) \(8\)
   • B) \(6(n-2)^2\)
   • C) \(12(n-2)\)
   • D) \((n-2)^3\)
   Ver solução

   Gabarito: A.
   Justificativa: apenas os 8 cubinhos dos vértices têm 3 faces expostas.

4) Perguntas frequentes

6) Materiais do blog para acelerar seus estudos