Exercícios de Derivadas — Gabarito Comentado
Regras básicas, retas tangentes, derivação implícita, limites e pontos críticos — passo a passo.
1) Calcule a derivada das funções
a) \(f(x)=x^4\)
b) \(f(x)=x^{-4}\)
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Regra da potência: \(\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}\).
a) \(f'(x)=4x^3\).
b) \(f'(x)=-4x^{-5}=-\dfrac{4}{x^5}\).
Gabarito: a) \(4x^3\); b) \(-4/x^5\).
2) Reta tangente em \(x=2\) para \(f(x)=x^{3}-4x^{2}+2x\)
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\(f(2)=8-16+4=-4\). \(\;f'(x)=3x^2-8x+2\Rightarrow f'(2)=-2\).
Equação ponto–inclinação: \(y-f(2)=f'(2)(x-2)\Rightarrow y+4=-2(x-2)\Rightarrow \boxed{y=-2x}\).
3) Calcule a derivada de \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^3}\)
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Quociente: \(u=\ln x,\;u’=1/x;\;v=x^3,\;v’=3x^2\).
\(f'(x)=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}=\dfrac{(1/x)x^3-\ln x\cdot3x^2}{x^6}=\dfrac{1-3\ln x}{x^4}\).
Gabarito: \(\displaystyle f'(x)=\frac{1-3\ln x}{x^4}\).
4) Calcule a derivada de \(f(x)=\sqrt{2x^{2}+2x}\)
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Regra da cadeia com \(g(x)=2x^2+2x\): \(f'(x)=\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}=\dfrac{4x+2}{2\sqrt{2x^2+2x}}=\boxed{\dfrac{2x+1}{\sqrt{2x^2+2x}}}\).
5) Reta tangente à curva \(y=(x-1)^5\) no ponto \((2,1)\)
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\(y’=5(x-1)^4\Rightarrow m=y'(2)=5\).
Reta: \(y-1=5(x-2)\Rightarrow \boxed{y=5x-9}\).
6) Calcule a derivada de \(f(x)=\ln(sen x)\)
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\(\dfrac{d}{dx}\ln g=\dfrac{g’}{g}\) com \(g(x)=sen x\Rightarrow g'(x)=\cos x\).
\(\displaystyle f'(x)=\frac{\cos x}{sen x}=\cot x\) (domínio: \(sen x\neq 0\)).
7) Derivada implícita de \(x^{2}y+2y^{3}=3x+2y\)
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Diferenciando: \(2xy+x^2y’+6y^2y’=3+2y’\).
Isolando \(y’\): \(\;y'(x^2+6y^2-2)=3-2xy\Rightarrow \boxed{y’=\dfrac{3-2xy}{x^2+6y^2-2}}\).
8) Calcule o limite \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^{5x}-1}{6x}\)
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Forma \(0/0\) → L’Hôpital: \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{5e^{5x}}{6}=\boxed{\tfrac{5}{6}}\).
9) Calcule o limite \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^{2}-x}\)
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\(0/0\) → L’Hôpital: \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{1/x}{2x-1}=\boxed{1}\).
10) Pontos críticos de \(f(x)=3x^{5}+5x^{4}-10x^{3}-15\)
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\(f'(x)=15x^4+20x^3-30x^2=5x^2(3x^2+4x-6)\).
Críticos: \(x=0\) (raiz dupla) e \(3x^2+4x-6=0\Rightarrow x=\dfrac{-2\pm\sqrt{22}}{3}\).
Gabarito (valores de \(x\)): \(0,\; \dfrac{-2-\sqrt{22}}{3},\; \dfrac{-2+\sqrt{22}}{3}\).
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