Nesta questão discursiva da FGV 2026, Isabela deseja aproximar a função trigonométrica f(x) = cos(x), em graus, por um polinômio de 2º grau no intervalo [−90, 90]. A ideia é que o polinômio quadrático p(x) coincida com cos(x) em três pontos estratégicos: x = −90°, x = 0° e x = 90°.
Nosso objetivo é determinar explicitamente essa função quadrática p(x).
Ver solução comentada – FGV 2026 (Função Quadrática e cos(x))
1) Valores de cos(x) nos pontos dados
Como o enunciado trabalha com ângulos em graus, temos:
cos(0°) = 1
cos(90°) = 0
cos(−90°) = 0
Queremos que o polinômio p(x) satisfaça:
p(0) = 1, p(90) = 0, p(−90) = 0.
2) Montando o polinômio quadrático
Seja:
p(x) = ax² + bx + c
Usando cada condição:
• p(0) = 1 ⇒ a·0² + b·0 + c = 1 ⇒ c = 1.
• p(90) = 0 ⇒ a·90² + b·90 + 1 = 0 • p(−90) = 0 ⇒ a·90² − b·90 + 1 = 0
Escrevendo de forma organizada:
8100a + 90b + 1 = 0 (1)
8100a − 90b + 1 = 0 (2)
3) Resolvendo o sistema para a e b
Subtraindo (2) de (1):
(8100a + 90b + 1) − (8100a − 90b + 1) = 0 − 0
180b = 0 ⇒ b = 0.
Substituindo b = 0 em (1):
8100a + 1 = 0 ⇒ a = −1/8100.
Já tínhamos c = 1, então:
p(x) = −(1/8100)x² + 1
Ou, de forma mais usual:
p(x) = 1 − x²/8100.
✔ Função quadrática que aproxima cos(x) nos pontos −90°, 0° e 90°:
p(x) = (1 − x^2)/8100.
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