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Forma fatorada da Função Quadrática

Forma fatorada da Função Quadrática: definição, demonstração e exercícios

Forma fatorada da Função Quadrática (com demonstração + exercícios)

Neste guia você aprende a passar de \(ax^2+bx+c\) para a **forma fatorada** \(a(x-x’)(x-x”)\), usando as raízes via **Fórmula de Bhaskara**. Há demonstração, exemplos com contas em coluna e uma lista de exercícios com gabarito passo a passo.

Para complementar, veja também: função quadrática (guia completo), gráfico da função quadrática, vértice da parábola, valor máximo e mínimo, coeficientes b e c, coeficiente a e concavidade, pontos notáveis e a parábola.

Forma fatorada da função quadrática: de ax²+bx+c para a(x−x’)(x−x’’)
Da forma padrão para a forma fatorada: \(f(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow a(x-x’)(x-x”)\).

Definição em uma linha

Forma fatorada
\[ \boxed{\,f(x)=ax^2+bx+c \;\Longrightarrow\; f(x)=a\,(x-x’)(x-x”)\,} \]

onde \(x’\) e \(x”\) são as raízes reais (se existirem). Se \(\Delta=0\), temos raiz dupla e \(f(x)=a(x-x_0)^2\). Se \(\Delta<0\), não há fatoração real.

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Como encontrar \(x’\) e \(x”\) (Bhaskara)

\[ \Delta=b^2-4ac,\qquad x’,x”=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} \]
Dica: calcule \(\Delta\) primeiro, depois as raízes, e só então escreva \(f(x)=a(x-x’)(x-x”)\).

Demonstração (por Viète, em passos curtos)

\[ \begin{aligned} f(x)&=ax^2+bx+c\\[2pt] \text{Colocando }a\text{ em evidência:}\quad f(x)&=a\!\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)\\[4pt] \text{Se }x’,x”\text{ são raízes:}\quad x’+x”&=-\frac{b}{a},\quad x’\!\cdot x”=\frac{c}{a}\\[4pt] f(x)&=a\,[x^2-(x’+x”)x+x’\!\cdot x”]\\ &=a\,(x-x’)(x-x”) \end{aligned} \]

Exemplos resolvidos (contas em coluna)

Exemplo 1 — Fatore \(3x^2-5x-2\).

\[ \begin{aligned} \Delta &= (-5)^2-4\cdot 3\cdot (-2)\\ &= 25+24\\ &= 49\\[4pt] x’ &= \frac{5-7}{6}\\ &= -\frac{2}{6}\\ &= -\frac{1}{3}\\[4pt] x” &= \frac{5+7}{6}\\ &= \frac{12}{6}\\ &= 2 \end{aligned} \]
\[ \boxed{\,3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)\,} \]

Exemplo 2 — Fatore \(x^2+6x+9\).

\[ \begin{aligned} \Delta &= 6^2-4\cdot 1\cdot 9\\ &= 36-36\\ &= 0\\[4pt] x’=x” &= \frac{-6}{2}\\ &= -3 \end{aligned} \]
\[ \boxed{\,x^2+6x+9=(x+3)^2\,} \]
Lista de exercícios (clique para ver gabarito)
1) Fatore \(3x^2-2x-8\).
\[ \begin{aligned} \Delta &= (-2)^2-4\cdot 3\cdot (-8)\\ &= 4+96\\ &= 100\\[4pt] x’ &= \frac{2-10}{6}\\ &= -\frac{8}{6}\\ &= -\frac{4}{3}\\[4pt] x” &= \frac{2+10}{6}\\ &= \frac{12}{6}\\ &= 2 \end{aligned} \]
\[ \boxed{\,3x^2-2x-8=(3x+4)(x-2)\,} \]
2) Fatore \(x^2-10x+25\).
\[ \begin{aligned} \Delta &= 100-100\\ &= 0\\[4pt] x’=x” &= \frac{10}{2}\\ &= 5 \end{aligned} \]
\[ \boxed{\,x^2-10x+25=(x-5)^2\,} \]
3) Fatore \(2x^2-5x-12\).
\[ \begin{aligned} \Delta &= 25+96\\ &= 121\\[4pt] x’ &= \frac{5-11}{4}\\ &= -\frac{6}{4}\\ &= -\frac{3}{2}\\[4pt] x” &= \frac{5+11}{4}\\ &= \frac{16}{4}\\ &= 4 \end{aligned} \]
\[ \boxed{\,2x^2-5x-12=(2x+3)(x-4)\,} \]
4) Fatore \(5x^2+5x+1\).
\[ \begin{aligned} \Delta &= 25-20\\ &= 5\\[4pt] x’ &= \frac{-5-\sqrt{5}}{10}\\ x” &= \frac{-5+\sqrt{5}}{10} \end{aligned} \]
\[ \boxed{\,5x^2+5x+1=5\!\left(x-\frac{-5-\sqrt{5}}{10}\right)\!\left(x-\frac{-5+\sqrt{5}}{10}\right)\,} \]
5) (Múltipla escolha) A forma fatorada de \(x^2-7x+12\) é:
  • (A) \((x-6)(x-1)\)
  • (B) \((x-3)(x-4)\) ✓
  • (C) \((x+3)(x+4)\)
  • (D) \((x-2)(x-6)\)
\[ \begin{aligned} \Delta &= 49-48\\ &= 1\\[4pt] x’ &= \frac{7-1}{2}\\ &= 3\\ x” &= \frac{7+1}{2}\\ &= 4 \end{aligned} \]
6) (Múltipla escolha) Para \(x^2+4x+3\), escolha a fatoração correta.
  • (A) \((x-3)(x-1)\)
  • (B) \((x+1)(x+3)\) ✓
  • (C) \((x+2)(x+2)\)
  • (D) \((x-1)(x-3)\)
\[ \begin{aligned} \Delta &= 16-12\\ &= 4\\[4pt] x’ &= \frac{-4-2}{2}\\ &= -3\\[4pt] x” &= \frac{-4+2}{2}\\ &= -1 \end{aligned} \]
7) (Múltipla escolha) A expressão \(4x^2-9\) fatora-se como:
  • (A) \((2x-3)^2\)
  • (B) \((2x-3)(2x+3)\) ✓
  • (C) \((x-3)(4x+3)\)
  • (D) Não é fatorável em \(\mathbb{R}\)
\[ \begin{aligned} 4x^2-9 &= (2x)^2-3^2\\ &= (2x-3)(2x+3) \end{aligned} \]
8) (Múltipla escolha) Se \(\Delta=0\), então \(ax^2+bx+c\) pode ser escrito como:
  • (A) \(a(x-x_0)^2\) ✓
  • (B) \(a(x+x_0)^2\)
  • (C) \((x-x’)(x-x”)\) com \(x’\ne x”\)
  • (D) Nenhuma das anteriores
\[ \Delta=b^2-4ac\quad\Rightarrow\quad \Delta=0 \Rightarrow \text{raiz dupla} \Rightarrow f(x)=a(x-x_0)^2 \]

Quando é possível fatorar em \(\mathbb{R}\)?

Condição no discriminanteRaízesForma fatorada
\(\Delta>0\) duas raízes reais distintas \(a(x-x’)(x-x”)\)
\(\Delta=0\) raiz dupla \(a(x-x_0)^2\)
\(\Delta<0\) não há raízes reais não há fatoração real

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.
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