Neste artigo, eu vou explicar para você, como se estivéssemos em sala de aula, tudo o que precisa saber sobre função afim, também chamada de função do 1º grau. Vamos falar da forma geral, interpretar os coeficientes, entender o gráfico, descobrir como encontrar as raízes e ver exemplos típicos de provas e concursos.
A ideia é que, ao final da leitura, você consiga olhar para uma função afim e entender rapidamente se ela é crescente ou decrescente, qual o seu gráfico e como resolver problemas práticos que envolvem esse tipo de função.
O que é função afim?
A função afim é toda função que pode ser escrita na forma:
\( f(x) = ax + b \)
em que:
- \(a\) é o coeficiente angular (indica a inclinação da reta);
- \(b\) é o coeficiente linear (indica onde a reta corta o eixo \(y\));
- \(x\) é a variável independente;
- \(f(x)\) é a variável dependente (o valor da função).
O gráfico de uma função afim é sempre uma reta. É justamente por isso que ela também é chamada de função do 1º grau: o maior expoente de \(x\) é 1.
Coeficiente angular e coeficiente linear
Coeficiente angular \(a\)
O coeficiente angular \(a\) indica o quanto a função varia quando a variável \(x\) aumenta uma unidade. Em linguagem de sala de aula, eu costumo dizer assim: “o \(a\) é a taxa de variação da função”.
- Se \(a > 0\), a função é crescente (a reta sobe da esquerda para a direita).
- Se \(a < 0\), a função é decrescente (a reta desce da esquerda para a direita).
- Se \(a = 0\), não é função afim propriamente dita, e o gráfico é uma reta horizontal \(f(x) = b\).
Coeficiente linear \(b\)
O coeficiente linear \(b\) indica o ponto onde o gráfico da função corta o eixo \(y\). Em outras palavras:
\( f(0) = b \)
Ou seja, quando \(x = 0\), o valor da função é justamente \(b\). Por isso dizemos que \(b\) é o termo independente, pois é o valor da função quando ainda não “andamos” nada no eixo \(x\).
Se você gosta de aprender com esquemas, cores e resumos organizados, vale muito a pena conferir os Mapas Mentais de Matemática do blog Matemática Hoje . Lá você encontra um mapa só de função afim, com fórmulas, gráficos e exemplos para revisar em poucos minutos.
Gráfico da função afim: como construir a reta
Como o gráfico de uma função afim é uma reta, para desenhá-la basta conhecer dois pontos. Na prática, usamos dois pontos estratégicos:
- O ponto onde a reta corta o eixo \(y\): \((0, b)\).
- Um segundo ponto obtido a partir de um valor qualquer de \(x\), por exemplo \(x = 1\).
Se a função é \( f(x) = ax + b \), então:
- Para \(x = 0\): \(f(0) = a \cdot 0 + b = b\) → ponto \((0, b)\);
- Para \(x = 1\): \(f(1) = a \cdot 1 + b = a + b\) → ponto \((1, a + b)\).
Unindo esses dois pontos no plano cartesiano, obtemos a reta que representa a função.
Exemplo 1 – Desenhando o gráfico de \(f(x) = 2x + 3\)
1) Identifique os coeficientes:
\(a = 2\) (coeficiente angular – função crescente)
\(b = 3\) (coeficiente linear – corta o eixo \(y\) em 3)
2) Calcule \(f(0)\):
\(f(0) = 2 \cdot 0 + 3\)
\(f(0) = 3\)
Ponto: \((0, 3)\)
3) Calcule \(f(1)\):
\(f(1) = 2 \cdot 1 + 3\)
\(f(1) = 2 + 3\)
\(f(1) = 5\)
Ponto: \((1, 5)\)
4) No plano cartesiano, marque os pontos \((0, 3)\) e \((1, 5)\) e trace a reta que passa por eles. Essa é a representação gráfica de \(f(x) = 2x + 3\).
Raiz (zero) da função afim
A raiz ou zero da função afim é o valor de \(x\) que faz a função valer zero, ou seja, resolve a equação:
\( f(x) = 0 \)
Como \( f(x) = ax + b \), para encontrar a raiz basta resolver:
\( ax + b = 0 \)
Isolando o \(x\), temos:
\( ax = -b \)
\( x = \dfrac{-b}{a} \), com \(a \neq 0\).
Esse valor de \(x\) é exatamente o ponto em que a reta cruza o eixo \(x\).
Exemplo 2 – Encontrando a raiz de \(f(x) = -3x + 12\)
1) Escreva a equação \(f(x) = 0\):
\(-3x + 12 = 0\)
2) Isolando o \(x\):
\(-3x + 12 = 0\)
\(-3x = -12\)
\(x = \dfrac{-12}{-3}\)
\(x = 4\)
3) Conclusão:
A raiz da função é \(x = 4\). No gráfico, isso significa que a reta cruza o eixo \(x\) no ponto \((4, 0)\).
Para revisar rapidamente funções, equações, geometria, porcentagem e muito mais, baixe gratuitamente o eBook Fórmulas Matemática (Download Grátis) . Ele é perfeito para ter do lado na hora de estudar função afim e outros conteúdos de provas e concursos.
Função afim crescente, decrescente ou constante
Como comentei antes, quem manda no “comportamento” da função afim é o coeficiente angular \(a\). Podemos resumir assim:
- Se \(a > 0\), a função é crescente: ao aumentar \(x\), o valor de \(f(x)\) também aumenta.
- Se \(a < 0\), a função é decrescente: ao aumentar \(x\), o valor de \(f(x)\) diminui.
- Se \(a = 0\), temos uma função constante \(f(x) = b\), que é uma reta horizontal.
Exemplo 3 – Analisando o comportamento das funções
Considere as funções seguintes:
\(f(x) = 5x – 2\) → \(a = 5 > 0\) → função crescente.
\(g(x) = -4x + 1\) → \(a = -4 < 0\) → função decrescente.
\(h(x) = 3\) → \(a = 0\) → função constante.
Modelando problemas com função afim
Em provas de ensino médio, ENEM e concursos, a função afim aparece muito em problemas de interpretação: custo de um serviço, salário, tarifa de telefone, produção de uma fábrica, etc.
A ideia é transformar o texto do problema em uma lei de formação, isto é, encontrar a função \(f(x) = ax + b\) que representa a situação.
Exemplo 4 – Conta de táxi
Um táxi cobra uma taxa fixa de R$ 5,00 pela corrida, mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. Escreva a função que representa o valor da corrida em função da distância percorrida.
1) Identifique as variáveis:
\(x\): distância (em km)
\(f(x)\): valor da corrida (em reais)
2) Analise o problema:
Há uma parte fixa (mesmo sem andar nada): R$ 5,00 → isso corresponde ao coeficiente linear \(b\).
Para cada quilômetro, são acrescidos R$ 2,00 → isso corresponde ao coeficiente angular \(a\).
3) Escreva a função:
\(f(x) = 2x + 5\)
Assim, para 10 km, por exemplo:
\(f(10) = 2 \cdot 10 + 5\)
\(f(10) = 20 + 5\)
\(f(10) = 25\)
A corrida custará R$ 25,00.
Exercícios resolvidos de função afim
Exercício 1
Considere a função \(f(x) = -2x + 8\).
- Calcule \(f(0)\) e interprete o resultado no gráfico.
- Encontre a raiz da função.
1) Calculando \(f(0)\):
\(f(0) = -2 \cdot 0 + 8\)
\(f(0) = 8\)
Isso significa que a reta cruza o eixo \(y\) no ponto \((0, 8)\), que é o coeficiente linear.
2) Encontrando a raiz (zero da função):
\(-2x + 8 = 0\)
\(-2x = -8\)
\(x = \dfrac{-8}{-2}\)
\(x = 4\)
A raiz da função é \(x = 4\), ou seja, a reta cruza o eixo \(x\) no ponto \((4, 0)\).
Exercício 2
Uma academia cobra uma taxa de matrícula de R$ 40,00 mais R$ 60,00 por mês de uso. Escreva a função que representa o custo total \(C(x)\) depois de \(x\) meses e calcule quanto um aluno pagará após 6 meses.
1) Identificando a função:
Taxa fixa (matrícula): R$ 40,00 → coeficiente linear \(b = 40\).
Valor por mês: R$ 60,00 → coeficiente angular \(a = 60\).
Então, a função custo é:
\(C(x) = 60x + 40\)
2) Calculando o custo após 6 meses:
\(C(6) = 60 \cdot 6 + 40\)
\(C(6) = 360 + 40\)
\(C(6) = 400\)
O aluno pagará R$ 400,00 no total após 6 meses.
Como aprofundar seus estudos em função afim e outros conteúdos
Se você quer ir além do que vimos aqui e treinar com questões de nível ENEM, vestibulares e concursos, recomendo explorar os materiais do Matemática Hoje:
- ENEM Matemática – Guia Completo : teoria, dicas e questões comentadas focadas na prova do ENEM.
- Coleção 10 eBooks de Matemática : materiais organizados por temas para reforçar a teoria e a prática.
- Banco de Questões de Matemática : muitas questões em formato de prova para treinar função afim e outros assuntos.
Combinando teoria bem explicada, mapas mentais, fórmulas organizadas e muitas questões de prática, você cria a base ideal para dominar função afim e ficar mais seguro em qualquer prova.
Bons estudos e até a próxima aula!
