Função injetiva
Definição formal, teste da reta horizontal, exemplos clássicos e exercícios resolvidos.
Uma função \(f:A\to B\) é injetiva (ou um–para–um) quando valores distintos no domínio levam a valores distintos no contradomínio. Intuitivamente, nenhum elemento de \(B\) recebe duas “setas”.
Definições equivalentes
\(f\) é injetiva se e somente se qualquer reta horizontal corta o gráfico de \(y=f(x)\) em, no máximo, um ponto.
\[ \forall x_1,x_2\in A,\ f(x_1)=f(x_2)\ \Rightarrow\ x_1=x_2. \] Equivalente a: \(x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)\).
\[ \left|f^{-1}(\{y\})\right|\le 1,\qquad \forall\,y\in B. \]
Atalhos úteis
- Monotonicidade: em intervalos, se \(f\) é estritamente crescente ou decrescente, então é injetiva.
- Derivada: se \(f'(x)\) não troca de sinal (ex.: \(f'(x)>0\) ou \(f'(x)<0\) em todo o intervalo), então \(f\) é injetiva nesse intervalo.
- Conjuntos finitos: se \(|A|>|B|\), nenhuma \(f:A\to B\) é injetiva (princípio das gavetas).
- Composição: se \(f\) e \(g\) são injetivas, então \(g\circ f\) é injetiva; se \(g\circ f\) é injetiva, então \(f\) é injetiva.
- Inversa à esquerda: \(f\) é injetiva \(\iff\) existe \(h:\operatorname{Im}f\to A\) tal que \(h\circ f=\operatorname{id}_A\).
Exemplos rápidos
- \(f(x)=ax+b\) com \(a\neq0\) é injetiva em \(\mathbb{R}\).
- \(g(x)=x^2\) não é injetiva em \(\mathbb{R}\) (pois \(g(1)=g(-1)\)), mas é injetiva em \([0,\infty)\) ou \((-\infty,0]\).
- \(e^x\) é injetiva em \(\mathbb{R}\) (estritamente crescente).
- \(\sin x\) não é injetiva em \(\mathbb{R}\), mas é injetiva em \([-\pi/2,\ \pi/2]\).
- \(|x|\) não é injetiva em \(\mathbb{R}\), mas torna-se injetiva em \(x\ge 0\) ou \(x\le 0\).
Demonstração-modelo (igualar imagens)
Para provar que \(f\) é injetiva, iguale as imagens e conclua \(x_1=x_2\). Ex.: \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) com \(ad-bc\neq0\) (e \(cx+d\neq0\)).
Suponha \(f(x_1)=f(x_2)\):
\[ \frac{ax_1+b}{cx_1+d}=\frac{ax_2+b}{cx_2+d} \ \Rightarrow\ (ax_1+b)(cx_2+d)=(ax_2+b)(cx_1+d) \] \[ (ad-bc)(x_1-x_2)=0 \ \Rightarrow\ x_1=x_2. \]
Logo, \(f\) é injetiva no seu domínio.
Quadro-resumo
| Ferramenta | Aplicação | Exemplo |
|---|---|---|
| Reta horizontal | Corta no máx. 1 ponto | Gráfico de \(e^x\) |
| Monotonicidade | \(f\) estritamente crescente/decrescente | \(ax+b\) com \(a\neq0\) |
| Derivada | \(f'(x)\) sem trocar sinal | \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\) com \(ad-bc\neq0\) |
| Cardinalidade | \(|A|>|B|\Rightarrow\) não há injeção | 5 → 4 elementos (impossível) |
| Restrição do domínio | Tornar \(f\) injetiva | \(x^2\) em \([0,\infty)\) |
Exercícios (múltipla escolha) com solução
1) Classifique quanto à injetividade em \(\mathbb{R}\): \(f(x)=3x-5\), \(g(x)=x^2-4\), \(h(x)=e^x\), \(p(x)=|x-1|\).
- Todos são injetivos.
- Apenas \(f\) e \(h\) são injetivos.
- Apenas \(g\) e \(p\) são injetivos.
- Apenas \(h\) é injetiva.
Ver solução
2) Dê um intervalo onde \(\sin x\) é injetiva.
- \([-\pi,\ \pi]\)
- \([-\pi/2,\ \pi/2]\)
- \([0,\ 2\pi]\)
- \([\pi/4,\ 5\pi/4]\)
Ver solução
3) Para que valores de \(k\) a função \(f(x)=x^3+kx\) é injetiva em \(\mathbb{R}\)?
- Somente \(k>0\)
- \(k\ge 0\)
- \(k\le 0\)
- Todos \(k\in\mathbb{R}\)
Ver solução
4) Se \(f\) e \(g\) são injetivas, então \(g\circ f\) é:
- Sempre injetiva.
- Nunca injetiva.
- Injetiva somente se \(g\) também for sobrejetiva.
- Indefinida.
Ver solução
5) Existe função injetiva \(f:A\to B\) com \(|A|=5\) e \(|B|=4\)?
- Sim, basta \(B\) ser finito.
- Não, pelo princípio das gavetas.
- Sim, se \(A\) for subconjunto de \(B\).
- Depende da imagem.
Ver solução
6) A função \(F(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(ad-bc\ne0\)) é injetiva em seu domínio?
- Não, pois é racional.
- Sim, pois \(F'(x)=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}\) tem sinal constante.
- Somente se \(a=d=0\).
- Somente se \(b=c=0\).
Ver solução
Continue estudando (links internos)
• Gráfico de uma Função
• Funções Crescente/Decrescente/Constante
• Plano Cartesiano
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• Coleção 10 eBooks de Matemática
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