Função Logarítmica

Navegue por tópicos relacionados: Propriedades dos logaritmos • Logaritmo natural (ln) • Mudança de base • Propriedade fundamental \(a^{\log_a x}=x\) • Função exponencial • Equações logarítmicas

A função logarítmica de base \(a\) (com \(a>0\) e \(a\neq 1\)) é a aplicação \(\;f:\mathbb{R}_{+}^{*}\to\mathbb{R}\;\) definida por

\( \displaystyle f(x)=\log_a x \qquad (x>0) \)

Domínio, imagem e características

Domínio \( (0,\infty) \)

Imagem \( \mathbb{R} \)

Raiz Passa em \( (1,0) \) pois \( \log_a 1=0 \)

Assíntota Reta \( x=0 \) é assíntota vertical

Crescimento Crescente se \(a>1\); decrescente se 0 < a < 1

Inversas É inversa de \( g(x)=a^{x} \) (função exponencial)

Relação com o \( \ln x \) (log natural)

Pela mudança de base, \( \displaystyle \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a} \). Assim, estudar \(f(x)=\log_a x\) equivale a estudar \( \ln x \) com um fator de escala \( 1/\ln a \).

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Construção do gráfico

Marque o ponto fixo \( (1,0) \).
Se \(a>1\), o gráfico é crescente e passa por \( (a,1) \).
Se 0 < a < 1, o gráfico é decrescente e passa por \( (a,1) \) (com \(a<1\)).
Quanto mais perto de \(0\) estiver \(x\), mais \( \log_a x \) tende a \(-\infty\).

Transformações usuais

Para \( y = b\cdot \log_a(k(x-h)) + d \):

Translação para a direita em \(h\) e para cima em \(d\).
Escalas: estica/achata vertical por \(b\) e horizontal por \(1/k\).
Fecho de domínio: exige \( k(x-h)>0 \).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Determine \(f(1)\), \(f(a)\) e \(f(a^2)\) para \( f(x)=\log_a x \) com \( a>1\).

\( f(1)=\log_a 1=0 \). \( f(a)=\log_a a=1 \). \( f(a^2)=\log_a (a^2)=2 \). Os pontos \( (1,0),(a,1),(a^2,2) \) ajudam a traçar o gráfico.

Exemplo 2 — Resolva \( \log_3(x-1)=2 \).

Pela definição: \( x-1 = 3^2 \Rightarrow x=10 \). Checagem do domínio: \( x-1>0 \Rightarrow x>1 \) (ok).

Exemplo 3 — Resolva a desigualdade \( \log_{1/2}(x) > -1 \).

Como 0 < a < 1 (base decrescente), ao “deslogaritmar” a desigualdade inverte o sentido: \( x < (1/2)^{-1}=2 \). Além disso, \( x>0 \). Logo, solução: \( 0

Exercícios de múltipla escolha

1) O domínio de \( f(x)=\log_{5}(2x-4) \) é:

a) \( x\in\mathbb{R} \)
b) \( x>2 \)
c) \( x\ge 2 \)
d) \( x<2 \)

Ver solução

Exige \( 2x-4>0 \Rightarrow x>2 \). Alternativa b.

2) Para \( a>1 \), a função \( f(x)=\log_a x \) é:

a) Par
b) Ímpar
c) Crescente
d) Decrescente

Ver solução

Crescente. Alternativa c.

3) A assíntota vertical do gráfico de \( y=\log_a x \) é:

a) \(y=0\)
b) \(x=0\)
c) \(x=1\)
d) \(y=1\)

Ver solução

Reta \(x=0\). Alternativa b.

4) Resolva \( \log_4(3x)=\tfrac{1}{2} \).

a) \( x=\dfrac{1}{3} \)
b) \( x=\dfrac{2}{3} \)
c) \( x=\dfrac{4}{3} \)
d) \( x=2 \)

Ver solução

\( 3x=4^{1/2}=2 \Rightarrow x=2/3 \). Alternativa b.

5) Para 0 < a < 1 , assinale a correta:

a) \( \log_a x \) é crescente
b) \( \log_a x \) é decrescente
c) \( \log_a 1=1 \)
d) Domínio é \( (-\infty,\infty) \)

Ver solução

A função é decrescente. Alternativa b.

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