Questão 32. Considere a função \( h : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definida por:
$$ h(t) = -5t^2 + 7t + 6 \quad \text{com } \frac{2}{5} \leq t \leq 1 $$
a) Para quais valores de \( t \) tem-se \( h(t) \geq 8 \)?
b) Determine o conjunto imagem da função \( h \).
a) 🔍 Ver solução passo a passo
1) Resolver a inequação:
$$ h(t) = -5t^2 + 7t + 6 \geq 8 $$ $$ -5t^2 + 7t + 6 – 8 \geq 0 $$ $$ -5t^2 + 7t – 2 \geq 0 $$
2) Resolver a equação associada:
$$ -5t^2 + 7t – 2 = 0 \Rightarrow \Delta = 49 – 4 \cdot (-5) \cdot (-2) = 49 – 40 = 9 $$
$$ t = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot -5} = \frac{-7 \pm 3}{-10} \Rightarrow t_1 = \frac{4}{10} = 0{,}4,\quad t_2 = 1 $$
3) Estudo do sinal:
Parábola para baixo, \( h(t) \geq 8 \) entre as raízes:
$$ \Rightarrow t \in [0{,}4,\ 1] $$
4) Conferir se está dentro do intervalo dado:
O intervalo original é \( \left[\frac{2}{5}, 1\right] = [0{,}4;\ 1] \)
✅ Conclusão:
- Solução: \( t \in [0{,}4;\ 1] \)
b) 🔍 Ver solução passo a passo
1) Identificar a concavidade:
Coeficiente de \( t^2 \) é negativo ⇒ concavidade para baixo.
2) O vértice da parábola é o ponto de máximo:
$$ t_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-7}{2 \cdot (-5)} = \frac{7}{10} = 0{,}7 $$
3) Calcular \( h(0{,}7) \):
$$ h(0{,}7) = -5 \cdot (0{,}7)^2 + 7 \cdot 0{,}7 + 6 = -5 \cdot 0{,}49 + 4{,}9 + 6 = -2{,}45 + 10{,}9 = 8{,}45 $$
4) Imagem da função:
Como é concava para baixo, a imagem vai de mínimo até o vértice.
Vamos calcular os extremos do intervalo:
- Valor mínimo ocorre em \( t = \frac{2}{5} = 0{,}4 \):
- $$ h(0{,}4) = -5 \cdot 0{,}16 + 7 \cdot 0{,}4 + 6 = -0{,}8 + 2{,}8 + 6 = 8 $$
- Valor máximo = \( 8{,}45 \)
✅ Conclusão:
- Imagem: \( \text{Im}(h) = (-∞;\ 8{,}45] \)
