Questão 10: Máximo da Arrecadação Semanal – Função Quadrática
Questão 10. (UEG-GO) Um lava jato tem 50 clientes fixos por semana e cada lavagem custa R$ 20,00. Sabe-se que a cada um real que o dono desse lava jato aumenta no preço da lavagem, ele perde 2 clientes. O valor do aumento que maximiza a arrecadação semanal desse lava jato é de:
- a) R$ 25,00
- b) R$ 20,00
- c) R$ 2,50
- d) R$ 10,00
- e) R$ 2,00
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🔎 Variáveis envolvidas:
- Preço inicial da lavagem: R$ 20
- Clientes iniciais: 50
- Para cada R$ 1 de aumento, perde 2 clientes
1) Seja \( x \) o aumento no preço
Preço final: $$ P(x) = 20 + x $$
Número de clientes: $$ C(x) = 50 – 2x $$
2) Receita semanal:
$$ R(x) = (20 + x)(50 – 2x) $$
3) Desenvolvendo a função:
$$ R(x) = 1000 – 40x + 50x – 2x^2 $$ $$ R(x) = -2x^2 + 10x + 1000 $$
4) Valor de \( x \) que maximiza a receita:
$$ x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{2 \cdot (-2)} = \frac{-10}{-4} = 2{,}5 $$
✅ Conclusão:
- O aumento ideal no preço: R$ 2,50
- Alternativa correta: c)
