Função Quadrática: o papel do coeficiente a

Função Quadrática: o que o coeficiente <em>a</em> faz no gráfico?

Função Quadrática: o papel do coeficiente a

Na função \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq0\)), o coeficiente \(a\) controla a concavidade e a abertura da parábola. Ele não determina sozinho a posição do vértice (porque \(y_v\) depende também de \(b\) e \(c\)), mas define se o vértice é mínimo ou máximo e o “quão aberto” é o gráfico.

1) Efeitos imediatos de \(a\)

Concavidade

\(a>0\): abre para cima (vértice é mínimo).
\(a<0\): abre para baixo (vértice é máximo).

Abertura (largura)

\(|a|\) grande → parábola mais estreita.
\(|a|\) pequeno → parábola mais larga.

Para \(y=ax^2\): \(x^2=4py\) \(\Rightarrow\) \(p=\dfrac{1}{4a}\). Quanto maior \(|a|\), menor \(p\) e mais “fechada”.

Vértice e eixo

\(x_v=-\dfrac{b}{2a}\) (o eixo \(x=x_v\) muda com \(a\) se \(b\neq0\)). Já \(y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}\) troca de natureza com o sinal de \(a\).

Comparação do efeito do coeficiente a no gráfico: parábolas abrindo para cima (a>0) e para baixo (a<0), mais estreitas e mais largas.

2) Visualizando com a família \(y=a(x-h)^2+k\)

Na forma canônica, \(a\) apenas estica/reflete a parábola em torno do eixo de simetria \(x=h\), sem mover o vértice \((h,k)\). Isso ajuda muito a esboçar rápido: comece da parábola básica \(y=(x-h)^2\), aplique o fator \(a\) e por fim translade \((h,k)\).

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3) Exemplos resolvidos (contas uma embaixo da outra)

Exemplo A — Compare \(f_1(x)=\tfrac{1}{4}x^2\), \(f_2(x)=x^2\) e \(f_3(x)=4x^2\)

Quem é mais “aberta” e quem é mais “estreita”?

\[ \begin{aligned} a_1&=\tfrac{1}{4}\quad(|a_1|=0{,}25)\\ a_2&=1\quad(|a_2|=1)\\ a_3&=4\quad(|a_3|=4)\\[4pt] \text{Largura: }& |a_1|<|a_2|<|a_3|\\ &\Rightarrow f_1 \text{ é a mais larga, } f_3 \text{ a mais estreita.} \end{aligned} \]

Exemplo B — Natureza do vértice em \(g(x)=-2x^2+4x+6\)

\[ \begin{aligned} a&=-2\ (<0)\Rightarrow \text{concavidade para baixo}\\ x_v&=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{-4}=1\\ y_v&=g(1)=-2(1)^2+4(1)+6=-2+4+6=8 \end{aligned} \]

Como \(a<0\), o vértice \((1,8)\) é máximo. (Veja a análise completa deste exemplo no artigo pontos notáveis da parábola.)

Exemplo C — Mesmo \(b,c\), dois valores de \(a\)

Considere \(f_a(x)=ax^2-4x+1\). Compare o eixo e o vértice para \(a=1\) e \(a=4\).

\[ \begin{aligned} \text{Para } a=1:&\\ x_v&=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2\\ y_v&=f_1(2)=1\cdot 4-8+1= -3\\[6pt] \text{Para } a=4:&\\ x_v&=-\frac{-4}{2\cdot 4}= \frac{1}{2}\\ y_v&=f_4\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=4\left(\tfrac{1}{4}\right)-4\left(\tfrac{1}{2}\right)+1\\ &=1-2+1\\ &=0 \end{aligned} \]

Alterar \(a\) mudou o eixo de simetria (pois \(x_v=-b/2a\)) e a altura do vértice.

4) Perguntas rápidas

\(a\) altera o intercepto em \(y\)? Não diretamente; o intercepto é \((0,c)\).
\(a\) muda as raízes? Sim, pois a expressão de Bhaskara usa \(\Delta=b^2-4ac\) (há \(a\) no produto \(ac\)) e o denominador \(2a\).
\(a\) muda só a “abertura” na forma \(y=a(x-h)^2+k\)? Sim; nessa forma, o vértice \((h,k)\) e o eixo \(x=h\) não mudam quando variamos \(a\).

5) Exercícios propostos (com gabarito)

1) Classifique a concavidade e o tipo de vértice de \(f(x)=3x^2-6x+2\). Calcule \(x_v\) e \(y_v\).

Gabarito

\[ \begin{aligned} a&=3>0\Rightarrow \text{abre para cima (vértice mínimo)}\\ x_v&=-\frac{-6}{2\cdot 3}=1\\ y_v&=f(1)=3(1)-6(1)+2=3-6+2=-1 \end{aligned} \]

2) Para \(g(x)=-\tfrac12 x^2+2x-5\): concavidade, largura em relação a \(y=-x^2\) e vértice.

Gabarito

\[ \begin{aligned} a&=-\tfrac12<0\Rightarrow \text{abre para baixo (vértice máximo)}\\ |a|&=0{,}5<1\Rightarrow \text{mais larga que } y=-x^2\\ x_v&=-\frac{2}{2(-\tfrac12)}=-\frac{2}{-1}=2\\ y_v&=g(2)=-\tfrac12(4)+2(2)-5=-2+4-5=-3 \end{aligned} \]

3) Determine o valor de \(a\) para que \(h(x)=a(x-1)^2+3\) seja mais estreita que \(y=(x-1)^2+3\) e abra para cima.

Gabarito

Abra para cima \(\Rightarrow a>0\). Mais estreita que \(1\) \(\Rightarrow |a|>1\). Assim, \(a>1\).

6) Continue estudando

Função Quadrática (guia completo) Gráfico da quadrática A parábola (foco e diretriz) Pontos notáveis da parábola Inequações produto Inequações quociente

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"Artigo escrito por"

Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.