Pontos notáveis da parábola (função quadrática)

Para \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq0\)), os pontos que você sempre deve localizar são:

• Vértice \((x_v,y_v)\): ponto de máximo (se \(a<0\)) ou mínimo (se \(a>0\)).
• Zeros (ou raízes) \((x_1,0)\) e \((x_2,0)\) — quando existem.
• Intercepto em \(y\): \((0,c)\).
• Eixo de simetria: a reta \(x=x_v\).

1) Fórmulas rápidas (para achar os notáveis)

Propriedades úteis (quando \(x_1\) e \(x_2\) existem):

• Média dos zeros: \(\dfrac{x_1+x_2}{2}=x_v\).
• Distância entre zeros: \(|x_2-x_1|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\).
• Viète: \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\) e \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\).

2) Como localizar os pontos notáveis (passo a passo)

1. Calcule \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\) e \(y_v=f(x_v)\).
2. Marque o intercepto \((0,c)\).
3. Se \(\Delta\ge0\), calcule os zeros por Bhaskara e confirme a simetria: o eixo \(x=x_v\) fica no meio de \(x_1\) e \(x_2\).
4. Use esses quatro pontos (vértice, \((0,c)\), as raízes) para guiar o esboço da parábola.

3) Exemplos resolvidos (com as contas uma embaixo da outra)

Exemplo A — \(f(x)=x^2-3x-4\)

Encontre vértice, zeros e intercepto no eixo \(y\).

Verificações: \(\dfrac{-1+4}{2}=1{,}5=x_v\) (ok) e \(|4-(-1)|=5=\sqrt{\Delta}/|a|\) (ok).

Exemplo B — \(g(x)=-2x^2+4x+6\)

Como \(a<0\), o vértice \((1,8)\) é máximo. O eixo de simetria \(x=1\) fica no meio das raízes \(-1\) e \(3\).

Exemplo C — Caso sem zeros reais: \(h(x)=2x^2+4x+5\)

Não há interseções com o eixo \(x\). Como \(a>0\), o vértice \((-1,3)\) é mínimo e a imagem é \([3,\infty)\).

4) Dicas e erros comuns

• Esqueceu o intercepto em \(y\)? Ele é sempre \((0,c)\).
• \(x_v=-\frac{b}{2a}\) é o meio entre as raízes (quando existem). Use isso para checar contas.
• Se \(\Delta<0\), não há zeros reais: a parábola não cruza o eixo \(x\).
• Ao esboçar, marque primeiro os notáveis; depois use a concavidade (sinal de \(a\)) para desenhar a curva suave.

5) Exercícios propostos (com gabarito)

1) Para \(f(x)=2x^2-8x+6\), determine vértice, zeros e intercepto em \(y\).

2) Dada \(g(x)=-x^2-2x+3\), classifique o vértice (máximo/mínimo) e encontre os notáveis.

3) Mostre que \(|x_2-x_1|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\) quando as raízes existem.

6) Continue estudando