Pontos notáveis da parábola (função quadrática)
Para \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq0\)), os pontos que você sempre deve localizar são:
- Vértice \((x_v,y_v)\): ponto de máximo (se \(a<0\)) ou mínimo (se \(a>0\)).
- Zeros (ou raízes) \((x_1,0)\) e \((x_2,0)\) — quando existem.
- Intercepto em \(y\): \((0,c)\).
- Eixo de simetria: a reta \(x=x_v\).
1) Fórmulas rápidas (para achar os notáveis)
Propriedades úteis (quando \(x_1\) e \(x_2\) existem):
- Média dos zeros: \(\dfrac{x_1+x_2}{2}=x_v\).
- Distância entre zeros: \(|x_2-x_1|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\).
- Viète: \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\) e \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\).
2) Como localizar os pontos notáveis (passo a passo)
- Calcule \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\) e \(y_v=f(x_v)\).
- Marque o intercepto \((0,c)\).
- Se \(\Delta\ge0\), calcule os zeros por Bhaskara e confirme a simetria: o eixo \(x=x_v\) fica no meio de \(x_1\) e \(x_2\).
- Use esses quatro pontos (vértice, \((0,c)\), as raízes) para guiar o esboço da parábola.
3) Exemplos resolvidos (com as contas uma embaixo da outra)
Exemplo A — \(f(x)=x^2-3x-4\)
Encontre vértice, zeros e intercepto no eixo \(y\).
Verificações: \(\dfrac{-1+4}{2}=1{,}5=x_v\) (ok) e \(|4-(-1)|=5=\sqrt{\Delta}/|a|\) (ok).
Exemplo B — \(g(x)=-2x^2+4x+6\)
Como \(a<0\), o vértice \((1,8)\) é máximo. O eixo de simetria \(x=1\) fica no meio das raízes \(-1\) e \(3\).
Exemplo C — Caso sem zeros reais: \(h(x)=2x^2+4x+5\)
Não há interseções com o eixo \(x\). Como \(a>0\), o vértice \((-1,3)\) é mínimo e a imagem é \([3,\infty)\).
4) Dicas e erros comuns
- Esqueceu o intercepto em \(y\)? Ele é sempre \((0,c)\).
- \(x_v=-\frac{b}{2a}\) é o meio entre as raízes (quando existem). Use isso para checar contas.
- Se \(\Delta<0\), não há zeros reais: a parábola não cruza o eixo \(x\).
- Ao esboçar, marque primeiro os notáveis; depois use a concavidade (sinal de \(a\)) para desenhar a curva suave.
5) Exercícios propostos (com gabarito)
1) Para \(f(x)=2x^2-8x+6\), determine vértice, zeros e intercepto em \(y\).
Gabarito
2) Dada \(g(x)=-x^2-2x+3\), classifique o vértice (máximo/mínimo) e encontre os notáveis.
Gabarito
Como \(a<0\), o vértice \((1,0)\) é máximo (nesse caso, o vértice coincide com o zero duplo quando \(\Delta=0\); aqui é zero simples, pois \(\Delta>0\)).
3) Mostre que \(|x_2-x_1|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\) quando as raízes existem.
