Função sobrejetiva

Uma função \(f:A\to B\) é sobrejetiva (ou sobrejeção) quando todo elemento do contradomínio \(B\) é imagem de algum elemento do domínio \(A\). Em notação:

Definição \[ f \text{ é sobrejetiva} \iff \forall\, y\in B,\ \exists\, x\in A\ \text{tal que}\ f(x)=y. \] Em outras palavras, a imagem coincide com o contradomínio: \(\operatorname{Im}(f)=B\).

Diagramas mostrando quando a imagem cobre todo o contradomínio (função sobrejetiva)

Teste da cobertura (visual e lógico)

Visual (diagrama de setas): todo ponto de \(B\) recebe pelo menos uma seta.
Lógico: dado \(y\in B\), você consegue resolver \(f(x)=y\) e obter algum \(x\in A\)? Se sim, para todo \(y\), então \(f\) é sobrejetiva.
Cardinalidade (finito): se \(|A|<|B|\), não pode ser sobrejetiva. Se \(|A|\ge |B|\), é apenas condição necessária, não suficiente.

Dicas e fatos rápidos

Escolha do contradomínio importa: \(e^x\) não é sobrejetiva em \(\mathbb{R}\), mas é sobrejetiva em \((0,\infty)\).
Contínuas em \(\mathbb{R}\) com \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) e \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\) são sobrejetivas em \(\mathbb{R}\) (ex.: polinômios de grau ímpar).
Composição: se \(f\) e \(g\) são sobrejetivas, então \(g\circ f\) é sobrejetiva; se \(g\circ f\) é sobrejetiva, então \(g\) é sobrejetiva.
Inversa à direita: \(f\) é sobrejetiva \(\iff\) existe \(h:B\to A\) tal que \(f\circ h=\operatorname{id}_B\).

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Exemplos resolvidos

1) Linear

\(f(x)=ax+b\) com \(a\neq0\) é sobrejetiva em \(\mathbb{R}\). Dado \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\dfrac{y-b}{a}\) resolve \(f(x)=y\).

2) Quadrática

\(g(x)=x^2\) não é sobrejetiva em \(\mathbb{R}\) (pois \(g(x)\ge0\)), mas é sobrejetiva em \([0,\infty)\). Para \(y\ge0\), escolha \(x=\sqrt{y}\) ou \(x=-\sqrt{y}\).

3) Exponencial

\(h(x)=e^x\) tem \(\operatorname{Im}(h)=(0,\infty)\). É sobrejetiva em \((0,\infty)\) e não sobrejetiva em \(\mathbb{R}\).

4) Seno

\(\sin x\) é sobrejetiva em \([-1,1]\) (imagem de \(\mathbb{R}\) é exatamente \([-1,1]\)).

5) Transformação de Möbius

\(F(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) com \(ad-bc\neq0\). No domínio \(\mathbb{R}\setminus\{-d/c\}\), a imagem é \(\mathbb{R}\setminus\{a/c\}\). Assim, \(F:\mathbb{R}\setminus\{-d/c\}\to\mathbb{R}\setminus\{a/c\}\) é sobrejetiva, mas não é sobrejetiva em \(\mathbb{R}\).

Quadro-resumo

Como checar sobrejetividade rapidamente
Ferramenta	Ideia	Exemplo
Resolver \(f(x)=y\)	Para todo \(y\in B\), encontre ao menos um \(x\in A\)	\(ax+b=y\Rightarrow x=\dfrac{y-b}{a}\)
Imagem conhecida	Compare \(\operatorname{Im}(f)\) com \(B\)	\(e^x\Rightarrow(0,\infty)\)
Limites/IVT	Se contínua e cobre todos os valores por limites	Polinômio grau ímpar \(\Rightarrow \mathbb{R}\)
Cardinalidade	\(\|A\|<\|B\|\Rightarrow\) impossível (finito)	3 elementos \(\nrightarrow\) 4 elementos
Composição	\(f,g\) sobrejetivas \(\Rightarrow g\circ f\) sobrejetiva	Projeção + projeção

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Exercícios (múltipla escolha) com solução

1) Classifique quanto à sobrejetividade no contradomínio indicado:

\(f(x)=2x-3\) com \(B=\mathbb{R}\).
\(g(x)=x^2\) com \(B=\mathbb{R}\).
\(h(x)=e^x\) com \(B=(0,\infty)\).
\(p(x)=|x|\) com \(B=[0,\infty)\).

Somente \(f\) e \(h\) são sobrejetivas.
Somente \(g\) e \(p\) são sobrejetivas.
\(f\), \(h\) e \(p\) são sobrejetivas; \(g\) não.
Todos são sobrejetivas.

Ver solução

\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) (linear com \(a\neq0\)) é sobrejetiva; \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) não (imagem \(\ge0\)); \(h:(0,\infty)\) é; \(p:[0,\infty)\) é. Alternativa: (c).

2) \(\sin x\) é sobrejetiva em qual contradomínio?

\(\mathbb{R}\)
\([-1,1]\)
\((0,1)\)
\((-\infty,0]\)

Ver solução

A imagem de \(\sin x\) é \([-1,1]\). Logo, sobrejetiva em \([-1,1]\).

3) Seja \(f(x)=x^3+2x\) em \(\mathbb{R}\). É sobrejetiva em \(\mathbb{R}\)?

Não, pois \(f(x)\ge0\).
Sim, por continuidade e limites \(\pm\infty\).
Somente em \([0,\infty)\).
Somente se \(x\ge0\).

Ver solução

Polinômio de grau ímpar: \(\lim_{x\to-\infty}f=-\infty\) e \(\lim_{x\to\infty}f=\infty\Rightarrow\) cobre \(\mathbb{R}\). Alternativa: (b).

4) A função piso \(\lfloor x\rfloor:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) é:

Sobrejetiva e injetiva.
Sobrejetiva e não injetiva.
Injetiva e não sobrejetiva.
Nem injetiva nem sobrejetiva.

Ver solução

Para todo \(n\in\mathbb{Z}\), \(\lfloor n\rfloor=n\Rightarrow\) sobrejetiva. Não é injetiva (intervalos inteiros têm mesma imagem). Alternativa: (b).

5) Se \(g\circ f:A\to C\) é sobrejetiva, qual afirmação é verdadeira?

\(f\) é sobrejetiva.
\(g\) é sobrejetiva.
Ambas \(f\) e \(g\) são sobrejetivas.
Nenhuma conclusão.

Ver solução

Para qualquer \(z\in C\), existe \(x\in A\) com \(g(f(x))=z\Rightarrow\) para \(y=f(x)\in B\), \(g(y)=z\) \(\forall z\). Logo \(g\) é sobrejetiva; nada garante sobre \(f\). Alternativa: (b).

6) \(F(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (\(ad-bc\neq0\)). Em qual contradomínio \(B\) ela é sobrejetiva?