Determine:
a) Os pontos de interseção da parábola com o eixo das abscissas
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Interseção com o eixo \( x \) ocorre quando \( f(x) = 0 \):
$$ f(x) = (x + 1)(x – 3) = 0 $$
$$ x = -1 \quad \text{ou} \quad x = 3 $$
Resposta: \( (-1,\ 0) \) e \( (3,\ 0) \)
b) O ponto de interseção da parábola com o eixo das ordenadas
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Para encontrar \( f(0) \):
$$ f(0) = (0 + 1)(0 – 3) = 1 \cdot (-3) = -3 $$
Resposta: \( (0,\ -3) \)
c) O ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas
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Para \( g(x) = \dfrac{x}{2} + 3 \), calculamos \( g(0) \):
$$ g(0) = \frac{0}{2} + 3 = 3 $$
Resposta: \( (0,\ 3) \)
d) O ponto de interseção da reta com a parábola situado no 2º quadrante
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Igualamos as expressões para encontrar os pontos de interseção:
$$ f(x) = g(x) $$
$$ (x + 1)(x – 3) = \frac{x}{2} + 3 $$
Expandindo o lado esquerdo:
$$ x^2 – 2x – 3 = \frac{x}{2} + 3 $$
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
$$ 2x^2 – 4x – 6 = x + 6 $$
Colocando tudo em um lado:
$$ 2x^2 – 5x – 12 = 0 $$
Aplicando Bhaskara:
$$ \Delta = (-5)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 $$
$$ x = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 11}{4} $$
$$ x_1 = \frac{16}{4} = 4, \quad x_2 = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} $$
Substituindo \( x = -\frac{3}{2} \) em \( g(x) \):
$$ g\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{-\frac{3}{2}}{2} + 3 = -\frac{3}{4} + 3 = \frac{9}{4} $$
Resposta: \( \left(-\frac{3}{2},\ \frac{9}{4} \right) \)
