Funções Matemáticas no Cotidiano: 12 Questões Resolvidas Passo a Passo com Interpretação e Aplicações

🔎 Entendendo o enunciado:

Devemos analisar as relações entre duas variáveis em cada item e identificar qual é a causa (independente) e qual é o efeito (dependente).

a) Número de barras de chocolate e quantia paga.

• Variável independente: número de barras de chocolate (é o que escolhemos livremente).

• Variável dependente: quantia paga (depende da quantidade comprada).

b) Andar do apartamento e tempo para o elevador chegar.

• Variável independente: andar do apartamento (é o que determina o tempo).

• Variável dependente: tempo necessário para o elevador chegar (depende da altura/andar).

✅ Conclusão:

a) Independente: número de barras de chocolate — Dependente: quantia paga
b) Independente: andar do apartamento — Dependente: tempo para o elevador chegar

🔎 Entendendo o enunciado:

A tabela relaciona os valores de \( t \) com os valores correspondentes de \( s \). Nosso objetivo é descobrir qual das expressões fornecidas representa corretamente essa relação.

1) Testando a alternativa A: \( s = 2t – 2 \)

Para \( t = 1 \Rightarrow s = 0 \) ✅

Para \( t = 2 \Rightarrow s = 2 \) ❌ (esperado: 3)

2) Testando a alternativa B: \( s = t – 1 \)

Para \( t = 1 \Rightarrow s = 0 \) ✅

Para \( t = 2 \Rightarrow s = 1 \) ❌

3) Testando a alternativa C: \( s = t^2 – 1 \)

• Para \( t = 1 \Rightarrow s = 1^2 – 1 = 0 \) ✅
• Para \( t = 2 \Rightarrow s = 4 – 1 = 3 \) ✅
• Para \( t = 3 \Rightarrow s = 9 – 1 = 8 \) ✅
• Para \( t = 4 \Rightarrow s = 16 – 1 = 15 \) ✅
• Para \( t = 5 \Rightarrow s = 25 – 1 = 24 \) ✅

4) Testando a alternativa D: \( s = t^2 \)

Para \( t = 1 \Rightarrow s = 1 \) ❌ (esperado: 0)

✅ Conclusão: A relação correta entre as variáveis é c) \( s = t^2 – 1 \)

🔎 Entendendo o enunciado:

O retângulo possui base igual a \( 2x \) e altura igual a \( x \). Vamos usar fórmulas conhecidas de geometria para expressar as grandezas pedidas em função de \( x \).

1) Perímetro:

A fórmula do perímetro de um retângulo é:

$$ P = 2 \cdot (2x + x) = 2 \cdot 3x = \mathbf{6x} $$

2) Área:

A fórmula da área de um retângulo é:

$$ A = 2x \cdot x = \mathbf{2x^2} $$

3) Diagonal:

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

$$ d = \sqrt{(2x)^2 + x^2} = \sqrt{4x^2 + x^2} = \sqrt{5x^2} = \mathbf{x\sqrt{5}} $$

✅ Conclusão:

• Perímetro: \( P = 6x \)
• Área: \( A = 2x^2 \)
• Diagonal: \( d = x\sqrt{5} \)

🔎 Entendendo o enunciado:

A tabela mostra os pares ordenados \((x, y)\). Sabemos que a função é do tipo \( y = ax + b \). Vamos utilizar os dados da tabela para encontrar os coeficientes \( a \) e \( b \).

1) Identificando o coeficiente \( a \):

Observe o crescimento do valor de \( y \) quando \( x \) aumenta de 1 em 1:

De \( y = 3 \) para \( y = 5 \): aumento de 2
De \( y = 5 \) para \( y = 7 \): aumento de 2

Portanto, o coeficiente angular é:

$$ a = 2 $$

2) Identificando o coeficiente \( b \):

Sabemos que quando \( x = 0 \), \( y = 3 \). Isso nos dá diretamente o valor de \( b \):

$$ b = 3 $$

3) Montando a função:

Substituindo \( a \) e \( b \) na expressão geral:

$$ y = 2x + 3 $$

✅ Conclusão:

• Coeficiente angular: \( a = 2 \)
• Coeficiente linear: \( b = 3 \)
• Função final: \( y = 2x + 3 \)

🔎 Entendendo o enunciado:

O problema nos informa que a produção é de 300 pães por hora. Precisamos montar uma função que relacione a produção total \( p \) ao tempo em horas \( t \).

1) Determinando a função:

Como são produzidos 300 pães por hora, a função será do tipo:

$$ p(t) = 300t $$

2) Calculando a produção em 3 horas e 30 minutos:

Precisamos transformar 3 horas e 30 minutos em horas decimais:

$$ t = 3 + \frac{30}{60} = 3{,}5 $$

Substituindo na função:

$$ p(3{,}5) = 300 \cdot 3{,}5 = 1050 $$

✅ Conclusão:

• Função: \( p(t) = 300t \)
• Produção em 3h30min: \( 1050 \) pães

🔎 Entendendo o enunciado:

Vamos aplicar cada função aos elementos do conjunto \( A = \{-2, -1, 0, 1\} \) e identificar os respectivos valores de saída, formando assim o conjunto imagem.

a) \( f(x) = x^3 \)

\( f(-2) = (-2)^3 = -8 \)
\( f(-1) = (-1)^3 = -1 \)
\( f(0) = 0^3 = 0 \)
\( f(1) = 1^3 = 1 \)

Imagem: \( \text{Im}(f) = \{-8, -1, 0, 1\} \)

b) \( f(x) = -x + 3 \)

\( f(-2) = -(-2) + 3 = 2 + 3 = 5 \)
\( f(-1) = -(-1) + 3 = 4 \)
\( f(0) = -0 + 3 = 3 \)
\( f(1) = -1 + 3 = 2 \)

Imagem: \( \text{Im}(f) = \{2, 3, 4, 5\} \)

c) \( f(x) = 1 – x^2 \)

\( f(-2) = 1 – 4 = -3 \)
\( f(-1) = 1 – 1 = 0 \)
\( f(0) = 1 – 0 = 1 \)
\( f(1) = 1 – 1 = 0 \)

Imagem: \( \text{Im}(f) = \{-3, 0, 1\} \)

✅ Conclusão:

• a) \( \text{Im}(f) = \{-8, -1, 0, 1\} \)
• b) \( \text{Im}(f) = \{2, 3, 4, 5\} \)
• c) \( \text{Im}(f) = \{-3, 0, 1\} \)

🔎 Entendendo o enunciado:

Vamos analisar os pares \((x, y)\) representados nas setas dos diagramas para descobrir uma regra (lei de formação) que relacione \( x \) com \( y \).

a) Função \( f \)

Observando os pares:
\( f(-5) = -3 \)
\( f(-3) = -1 \)
\( f(-1) = 1 \)
\( f(1) = 3 \)

A variação mostra que estamos somando 2 ao valor de \( x \):

$$ f(x) = x + 2 $$

b) Função \( h \)

Observando os pares:
\( h(-2) = 4 \)
\( h(-1) = 1 \)
\( h(0) = 0 \)
\( h(1) = 1 \)
\( h(2) = 4 \)

Note que estamos elevando \( x \) ao quadrado:

$$ h(x) = x^2 $$

✅ Conclusão:

• a) \( f(x) = x + 2 \)
• b) \( h(x) = x^2 \)

🔎 Entendendo o enunciado:

A questão envolve uma função afim na qual o valor cobrado é composto por uma parcela fixa e outra proporcional à área. Devemos descobrir se os valores fornecidos são coerentes com a fórmula da função e com os cálculos pedidos.

1) Descobrindo a função:

Com base na tabela, por exemplo, quando a área é 10 m², o total é R$50, ou seja:

$$ 30 + 10 \cdot x = 50 \Rightarrow x = 2 $$

Mas testando com 20 m², temos R$70. Logo:

$$ 30 + 20 \cdot x = 70 \Rightarrow x = 2 $$

Portanto, a função correta é:

$$ f(x) = 30 + 2x $$

2) Analisando as afirmações:

• Afirmação 1: Diz que o pintor cobra R$30 + R$3 por metro quadrado, mas vimos que ele cobra R$2 por metro quadrado. Falsa.
• Afirmação 2: Se foram pagos R$530:

$$ 530 = 30 + 2x \Rightarrow 2x = 500 \Rightarrow x = 250 $$

Logo, Verdadeira.

• Afirmação 3: Área de 150 m²:

$$ f(150) = 30 + 2 \cdot 150 = 330 $$

330 é maior que 300. Falsa.

✅ Conclusão:

• Afirmação 1: Falsa
• Afirmação 2: Verdadeira
• Afirmação 3: Falsa

Sequência: F – V – F

Portanto, a alternativa correta é a letra c).

Alternativa correta: c) F – V – V

🔎 Entendendo o enunciado:

Devemos determinar os valores de \( x \) para os quais cada função está definida, ou seja, identificar o domínio de cada expressão.

a) Função polinomial: \( h(x) = 4x – 5 \)

Funções polinomiais estão definidas para todos os valores reais.

$$ D(h) = \mathbb{R} $$

b) Função racional: \( j(x) = \dfrac{3}{1 + x} \)

A função está indefinida quando o denominador é zero:

$$ 1 + x = 0 \Rightarrow x = -1 $$

Então, excluímos esse valor do domínio.

$$ D(j) = \mathbb{R} \setminus \{-1\} $$

c) Função com raiz: \( z(x) = \sqrt{2x} \)

A raiz quadrada só está definida para valores maiores ou iguais a zero:

$$ 2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0 $$

Assim:

$$ D(z) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\} $$

✅ Conclusão:

• Domínio de \( h(x) \): \( \mathbb{R} \)
• Domínio de \( j(x) \): \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \)
• Domínio de \( z(x) \): \( \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\} \)

🔎 Entendendo o enunciado:

Cada triângulo é formado por 3 lados com o mesmo número de palitos. Portanto, o total de palitos é o triplo do número de palitos de um lado.

Função matemática:

Se \( x \) é o número de palitos por lado, então:

$$ y = 3x $$

c) Domínio e imagem:

• Domínio: \( \mathbb{N}^* \) (números naturais positivos)
• Imagem: \( \{ y \in \mathbb{N}^* \mid y \equiv 0 \pmod{3} \} \) = {3,6,9,12,15,18,…}

d) Encontrando x para y = 45:

$$ y = 3x \Rightarrow 45 = 3x \Rightarrow x = 15 $$

Resposta: Cada lado deve ter 15 palitos.

🔎 Entendendo o padrão:

A cada novo quadrado, acrescentam-se 3 palitos (pois 1 lado é compartilhado com o anterior).

1 quadrado: 4 palitos

2 quadrados: 4 + 3 = 7

3 quadrados: 7 + 3 = 10, e assim por diante.

Função:

$$ y = 3x + 1 $$

Resposta do item c:

Para \( x = 30 \):

$$ y = 3 \cdot 30 + 1 = 91 $$

Resposta do item d:

• Domínio: \( \mathbb{N}^* \), pois o número de quadrados deve ser natural e positivo.
• Imagem: \( \{4, 7, 10, 13, 16, \dots\} \) – sequência crescente com razão 3 e primeiro termo 4.

🔎 Entendendo o enunciado:

A função relaciona o número de anúncios \( x \) com a quantidade de vendas \( y \). Queremos saber o valor de \( x \) que torna \( y = 200 \).

1) Substituindo y por 200:

$$ 200 = \frac{3}{2}x + 80 $$

2) Isolando x:

$$ 200 – 80 = \frac{3}{2}x $$

$$ 120 = \frac{3}{2}x $$

$$ x = \frac{120 \cdot 2}{3} = 80 $$

✅ Resposta final: O gerente deverá anunciar 80 vezes na semana.