Gráfico da Função Quadrática: passo a passo
O gráfico de uma função quadrática \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq 0\)) é uma parábola. Para aprender a esboçar com segurança, vamos combinar tabela de valores, vértice e simetria. Se quiser o conteúdo completo da teoria, veja o nosso guia de função quadrática. Para revisar construções com retas, vale conferir função afim e interseção de retas.
1) Elementos que determinam o desenho
- Concavidade (sinal de \(a\)): \(a>0\) abre para cima (mínimo); \(a<0\) abre para baixo (máximo).
- Eixo de simetria: \(x=x_v\), onde \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\).
- Vértice: \((x_v,y_v)\), com \(y_v=f(x_v)=-\dfrac{\Delta}{4a}\) e \(\Delta=b^2-4ac\).
- Interseções: com \(y\) em \((0,c)\) e com \(x\) nas raízes (se existirem).
- Domínio \(=\mathbb{R}\); imagem: \([y_v,\infty)\) se \(a>0\) ou \((-\infty,y_v]\) se \(a<0\).
2) Método da tabela (com simetria)
Escolha valores de \(x\) ao redor do eixo de simetria e calcule \(y\). Pontos simétricos têm a mesma ordenada (mesmo \(y\)).
Exemplo A — \(f(x)=x^2+1\)
Vértice: \(x_v=-\tfrac{b}{2a}=0\) e \(y_v=f(0)=1\). Logo, eixo \(x=0\) e concavidade para cima.
| x | y = x² + 1 |
|---|---|
| −2,5 | 7,25 |
| −1,5 | 3,25 |
| −0,5 | 1,25 |
| 0,5 | 1,25 |
| 1,5 | 3,25 |
| 2,5 | 7,25 |
Cálculos (mostrando as contas uma embaixo da outra):
Plote os pontos, use a simetria em relação ao eixo \(y\) e ligue com uma curva suave: está pronta a parábola.
3) Método do vértice + dois pontos simétricos
- Calcule \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\) e \(y_v=f(x_v)\).
- Escolha um \(x\) à direita de \(x_v\) (por exemplo \(x_v+1\)) e calcule o par \(P\).
- Use o ponto simétrico à esquerda \((2x_v – (x_v+1),\,y_P)\).
- Marque \((0,c)\) e, se houver, as raízes para orientar a curva.
4) Transformações a partir de \(y=x^2\)
- \(y=(x-h)^2\): translação horizontal de \(h\) unidades; vértice \((h,0)\).
- \(y=x^2+k\): translação vertical de \(k\); vértice \((0,k)\).
- \(y=a(x-h)^2+k\): abre mais/menos conforme \(|a|\) e reflete no eixo \(x\) se \(a<0\).
5) Mais exemplos resolvidos
Exemplo B — \(g(x)=2x^2-4x-3\). Encontre vértice, raízes e esboce.
Concavidade para cima (\(a>0\)), vértice \((1,-5)\), duas raízes reais \(\left(\dfrac{2\pm\sqrt{10}}{2}\right)\) e intercepto em \(y=(0,-3)\).
Exemplo C — \(h(x)=-(x-2)^2+5\) (forma canônica). Esboce rapidamente.
6) Erros comuns
- Ignorar o eixo de simetria e escolher pontos “aleatórios” (perde-se eficiência).
- Trocar o sinal de \(b\) ao usar \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\).
- Esquecer que \(\Delta<0\) significa “sem raízes reais”, logo a parábola não corta o eixo \(x\).
- Desenhar segmentos “quebrados”: a parábola é uma curva suave.
7) Exercícios propostos (com gabarito)
1) Construa o gráfico de \(f(x)=x^2-2x+3\). Informe vértice, imagem e se intercepta o eixo \(x\).
Gabarito
Vértice \((1,2)\); imagem \([2,\infty)\); não intercepta o eixo \(x\) (\(\Delta<0\)).
2) Esboce \(g(x)=-x^2-4x-3\) usando vértice e raízes.
Gabarito
Concavidade para baixo, vértice \((2,-15)\), raízes \(-1\) e \(3\).
3) Use tabela para \(y=(x-1)^2-2\) escolhendo \(x=\{-1,0,1,2,3\}\). Plote e identifique o vértice.
Gabarito
| x | y |
|---|---|
| −1 | 2 |
| 0 | −1 |
| 1 | −2 |
| 2 | −1 |
| 3 | 2 |
Vértice \((1,-2)\); eixo \(x=1\); concavidade para cima.
