Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP)
Definição formal \(y=\dfrac{k}{x}\), testes de identificação, regra de três inversa, aplicações, exemplos e exercícios com soluções em “abre/fecha”.
Conceito e definição
Duas grandezas \(x\) e \(y\) são inversamente proporcionais quando existe uma constante \(k>0\) tal que:
Modelo: \(\displaystyle y=\frac{k}{x}\ \ (k>0)\) ⇔ produto constante \(x\cdot y=k\).
- Se \(x\) multiplica por \(c>0\), então \(y\) divide por o mesmo \(c\).
- O gráfico é uma hipérbole (para \(k>0\), ramos nos quadrantes I e III).
- Unidades: \(k\) herda as unidades de \(x\cdot y\) (útil para checagem dimensional).
Leitura recomendada
• Razão e Proporção
• Regra de Três Simples
• Regra de Três Composta
• Regra de Sociedade
• Divisão Proporcional
Produtos do blog
Propriedades e identificação
- Produto constante: \(x_1y_1=x_2y_2=\cdots=k\).
- Regra de três inversa: \(\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_2}{y_1}\) (note a “cruz” invertida).
- Composição: com fatores mistos, multiplique os diretos e divida pelos inversos (veja a regra de três composta).
Exemplo curto — pessoas × tempo
\(p\cdot t=k\Rightarrow 4\cdot12=6\cdot t\Rightarrow t=\frac{48}{6}=\mathbf{8\ \text{h}}\).
Regra de três inversa (passo a passo)
| Grandeza | Situação 1 | Situação 2 |
|---|---|---|
| Pessoas (x) | 5 | 8 |
| Tempo (y) | 18 h | \(y=?\) |
Inversa ⇒ \(\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_2}{y_1}\). Assim, \(\dfrac{5}{8}=\dfrac{y}{18}\Rightarrow y=\dfrac{5\cdot18}{8}=\mathbf{11{,}25\ \text{h}}\).
Aplicações frequentes
- Pessoas × tempo (trabalho fixo; produtividade constante).
- Velocidade × tempo (distância fixa).
- Pressão × volume (Lei de Boyle–Mariotte: gás ideal com temperatura constante).
- Vazão × tempo (volume fixo em reservatórios).
Direta × Inversa — diferenças-chave
- Direta: \(y=kx\) (reta na origem). Inversa: \(y=\dfrac{k}{x}\) (hipérbole).
- “Direta anda junto”; “Inversa vai ao contrário”.
- Teste: direta mantém a razão \(y/x\); inversa mantém o produto \(xy\).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Velocidade × tempo (distância fixa)
Note \(v\cdot t = 300\) (constante). Logo, \(t=\dfrac{300}{v}\).
Exemplo 2 — Pessoas × tempo
\(3\cdot15=5\cdot t\Rightarrow t=\dfrac{45}{5}=\mathbf{9\ \text{h}}\).
Exemplo 3 — Pressão × volume (Boyle–Mariotte)
\(P_1V_1=P_2V_2\Rightarrow 1{,}5\cdot2{,}4=2{,}0\cdot V_2\Rightarrow V_2=\mathbf{1{,}8\ \text{L}}\).
Lista de exercícios (com soluções em abre/fecha)
1) 4 operadores finalizam uma tarefa em 18 h. Em quanto tempo 6 operadores fazem a mesma tarefa?
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2) (Múltipla) A 90 km/h o tempo é 4 h. A 120 km/h, o tempo será:
A) 2,5 h B) 3 h C) 3,5 h D) 4,5 h
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3) Um gás ocupa 1,2 L a 2,5 atm (T constante). Qual o volume a 1,5 atm?
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4) (Múltipla) 8 máquinas finalizam um serviço em 15 dias. 12 máquinas farão em:
A) 8 d B) 9 d C) 10 d D) 11 d
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5) Uma mangueira enche um tanque em 30 min com vazão de 12 L/min. Em quanto tempo enche com 18 L/min?
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6) (Múltipla) 6 computadores em paralelo levam 40 min. Com 10 computadores idênticos, o tempo será:
A) 20 min B) 24 min C) 30 min D) 36 min
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7) Após dobrar o nº de funcionários, o tempo caiu para 18 dias. Antes eram 12 funcionários. Quantos dias levavam antes?
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Checagem: \(12\cdot T = 24\cdot18 \Rightarrow T=36\).
8) (Múltipla) Velocidade média de 72 km/h para 54 km/h no mesmo trecho. O tempo passa a ser:
A) 25% maior B) 33⅓% maior C) 50% maior D) 75% maior
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9) Dois trabalhadores juntos fazem em 12 h. A sozinho faz em 30 h. B sozinho fará em quantas horas?
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10) (Múltipla) Um compressor enche em 48 min. Para encher em 32 min, quantos compressores idênticos são necessários (no total)?
A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 3
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Razão e Proporção, Regra de Três Simples, Regra de Três Composta, Regra de Sociedade, Divisão Proporcional.
